ここの解の公式を検証
x^3=t
を３次方程式の解の公式をつかって求めてみます。
もちろん、tは定数です。
３次方程式の解の公式再掲
x^3+ax+b=0
の解は、
u,v
=-\frac{b}{2}±\sqrt{ \left(\frac{b}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{3}\right)^3 }
とすると、
x=\left\{\begin{align*} \sqrt[3]{u}+\sqrt[3]{v}\\ w\sqrt[3]{u}+w^2\sqrt[3]{v}\\ w^2\sqrt[3]{u}+w\sqrt[3]{v} \end{align*}\right.
ここで、w=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}
３乗根は、-3\sqrt[3]{u}\sqrt[3]{v}=a
となるように選択する。
公式適用
a=0,b=-tで解の公式を適用するとよい。
u,v\\ =-\frac{-t}{2}±\sqrt{ \left( \frac{-t}{2}\right)^2 +\left(\frac{0}{3}\right)^3 }\\ =\frac{t}{2}± \left|\frac{-t}{2}\right| \\ =0,t
x=\left\{\begin{align*} \sqrt[3]{t}\\ w\sqrt[3]{t}\\ w^2\sqrt[3]{t} \end{align*}\right.
3次方程式の解の公式をつかって解を求めることができました。
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