数列の極限に関する問題１

 

[msg#wsiki]

 

数列の極限に関する問題です。

解き方や解答はそれぞれの解答ページを参照してください。

1.数列の極限を求める問題と解き方cosⁿ(a)/(1+sinⁿ(a))他

 

問題１

$\displaystyle \frac{\cos^n \alpha}{1+\sin^n \alpha}$
の極限をもとめよ。

 

解答

 

問題２

$\displaystyle \frac{1}{n^3}(1^2+2^2+\cdots +n^2)$
の極限をもとめよ。

 

解答

 

問題３

$\displaystyle \frac{1}{n}(\frac{3n}{n}+\frac{3n+1}{n}+\cdots +\frac{4n-1}{n})$
の極限をもとめよ。

 

解答

 

問題４

$\displaystyle \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3  + \cdots +n \cdot (n+1) }{n^3}$
の極限をもとめよ。

 

解答

 

2.はさみちで求める数列の極限の問題「n^(1/n)の極限を求めよ」

 

問題１

（１）$\displaystyle 1+\frac{1 }{\sqrt{n}} \gt \sqrt[2n]{n}$ (n=1,2,3,…)を証明せよ。

（２）$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{n}}$ をもとめよ。

 

解答

 

3.名古屋大学-数列の極限を求める問題の解き方

 

問題１

aは正の数、p,qはp>qの正の整数、
$a_1=1、a_n^p a_{n-1}^q=a$(n≧2)

をみたす正数列を{a_n}とする。このとき、

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n$を求めよ。

 

解答

 

4.漸化式数列の極限問題と解き方(階差数列あり)3問

 

問題１

次の漸化式から$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n$を求めよ。

$a_1=0,a_2=1,a_{n+2}=(1+k)a_{n+1}-ka_n$

 

解答

 

問題２

次の漸化式から$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n$を求めよ。

$a_1=1,3a_{n+1}=a_n-2^n$

 

解答

 

問題３

次の漸化式から$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n$を求めよ。

$\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+3}$

 

解答

 

5.漸化式を等比数列に変形して解く数列の極限問題

 

問題１

数列$\{a_n\}$において、$a_n=\sqrt{3 a_{n-1}+10} \; (n \ge 2) \; a_1 \ge 0$のとき、

（１）$\displaystyle |a_n-5| \le \frac{3}{5}|a_{n-1}-5|\; (n \ge 2 )$を証明せよ。

（２）$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n$を求めよ。

 

解答

 

6.東京女子大学ー数列の極限を求める問題と解き方

 

問題１

$\displaystyle a_1=2,\;a_{n+1}=\frac{1}{a_n}+\frac{a_n}{2}\; (n=1,2,\cdots)$
のとき、数列$\{a_n\}$は極限$\sqrt{2}$をもつことを示せ。

 

解答

 

7.早稲田大学教育ー数列の極限を求める問題

 

問題１

$\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}|x-1|$とする。
xを実数とし、$x_1=f(x),x_2=f(x_1),\cdots,x_n=f(x_{n-1})$
とするとき、数列$\{x_n\}$が収束するようなxの範囲とそのときの$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} x_n$を求めよ。

 

解答

 

8.広島大学ー数列の極限を求める問題と解き方

 

問題１

行列
$\displaystyle A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ 1-a & 1-b \end{array} \right)$

のn個の積$\displaystyle A^n$は、
$\displaystyle  \left( \begin{array}{cc} a_n & b_n \\ 1-a_n & 1-b_n \end{array} \right)$

の形になる。

ただし、$b \ne 0、a-b \ne -1$とする。

 

（１）

$\displaystyle a_n, b_nをa,b,c$で表わせ。

（２）

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}$

を求めよ。

（広島大）

 

解答

 

 

9.正三角形の辺上の点から垂線を下ろし続けた先の点

問題１

正三角形ABCの辺AB上の１店をP₁とする。P₁から辺BCへ下ろした垂線の足をQ₁、Q₁から辺CAに下ろした垂線の足をR₁、R₁から辺ABへ下ろした垂線の足をP₂として、P₂からさらに同じ操作を繰り返してQ₂、R₂、P₃、Q₃、R₃、…とする。

n→∞のとき、P_nはどの点に近づくか。

解答

 

 

 

 

 

10.三角形の底辺を等分した長さに関する極限

 

問題１

三角形ABCにおいてBC=a,CA=b,AB=cとする。

BCをn等分する点をP₁,P₂,…,P_n-1としP_n=Cとする

このとき、

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}(AP_1^2+AP_2^2+\cdots+AP_n^2)$

を求め、これをa,b,cで表わせ。

 

解答例

 

---

 

[ad#foot]

 

---

その他の微分積分に関する問題

数列の極限に関する問題2

[ad#nekob]