無限 午前午後問題とAMPM問題
午前午後問題とは午前午後問題を図で書くと、下記の通りである。図で示したほうがわかりやすいと思って作図した。問題は、12時から13時の間を午前というのか、午後というのかであって、話がややこしいことに、午前でも午後でもあるというのが、午前午後問...
解析
無限 解析 0時は昨日か今日か、１２時は午前か午後か
瞬間の問題です。導入問題深夜０時は昨日なのか、今日なのかという問題です。問題が文章だとなかなか意味が通りにくいので、数学の記号を使って書いてみます。時計は、０時から２４時を表します。これはいいですね。１日の始まりをどうみるかの問題を出したか...
無限 無作為に選んだ自然数が偶数である確率
無作為に自然数を選択したとき、それが偶数である確率は？自然数は、偶数か奇数かどちらかである。したがって、無作為に選んだ自然数が偶数である確率は、\(\frac{1}{2}\)果たしてこれでよいだろうか？自然数は無限にある。自然数は無限に存在...
無限大の比較 無限大は自然数とみなせるか
自然数を使った無限大1を次々に足していく\(1+1+1+\cdots\)自然数を次々に足していく\(1+2+3+\cdots\)小さい順に素数を掛けていく\(2*3*5*\cdots\)こういった操作を行うといくらでも大きい数ができる。いわ...
無限 1，2，3，たくさん
数を表す単語ピダハン語は数を持たないという。数を表す単語も、「１」，「２」，「３」と「たくさん」ぐらい。ピダハン語だけでなく、数を表す単語が少ない言語は他にもいくつかあるそうで、我々から見ると、それでなにか不都合が怒らないのが不思議でたまら...
数論 総和法
級数とは数列\(\{a_n\}\)にたいして、\(\{\sum_{k=1}^{n}a_k\}\)という数列が考えられる。数列\(\{\sum_{k=1}^{n}a_k\}\)の極限値を数列\(\{a_n\}\)の級数と（ここでは）呼ぶ。極限...
無限 極限操作で腑に落ちない部分、納得できない！
極限操作でつまずく極限でつまずく？のは、0のような０でないような無限小の扱いではないだろうか。有限では正の実数としなかがら、極限では0とする。正しく理解していれば特に問題はないだろうが、極限や無限の扱いに慣れていないと、勘違いも起こりうる。...
解析 不連続関数
いたるところ不連続な関数として有名なディリクレの関数。ディリクレの関数$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}1 & (x\in \mathbb{Q}) \\0 & (\mathrm{otherwise})\e...
数論 0の隣りの実数
実数直線における0の隣の点昨日、隣の点について書いたが、もっと具体的、0の隣に点はあるか。普通の答えは「ない」である。私は、これに違和感を感じる。なぜ違和感を感じるのだろうか。それは、０より大きな数が存在している。数が存在している以上隣りに...
数論 最小の無限大は存在するか
∞に発散する数列∞に発散する数列がたくさんある。そのような数列の比をとると、必ずしも１になるわけではない。つまり、∞にもいろいろあるということである。\(a=\{3 n\}\)、\(b=\{ n^2\}\)の２つの数列はどちらも∞に発散する...