極限操作でつまずく

極限でつまずく?のは、0のような0でないような無限小の扱いではないだろうか。

有限では正の実数としなかがら、極限では0とする。正しく理解していれば特に問題はないだろうが、極限や無限の扱いに慣れていないと、勘違いも起こりうる。

例えば、\[a_n=\frac{1}{n}\]のときなど、任意の自然数nに対して、\[0 \lt a_n \]であるが、\[ 0 \lt \lim_{n→∞}a_n \]ではなく、\[ 0 \le \lim_{n→∞}a_n \]である。全ての自然数で不等号であるにもかかわらず、極限操作をすると不等号に等号が追加されてしまうのだ。

そして、実際には\[ 0 = \lim_{n→∞}a_n \]と、等号が有効になってしまう。

ここが納得できない

\( \lim_{n→∞}a_n \)は、\(a_n\)の到達点ではなく、目標とする点である。\(a_n\)は、永遠に\( \lim_{n→∞}a_n \)へ到達することはない。∞という数があったとしても、
\( \frac{1}{∞} \)が定義されているかどうかは別の話であり、かりに\( \frac{1}{∞} \)の値を定義したとしても、それが\(a_∞\)と同じ定義にされる必然はない。\(n\)が∞に到達することはないので。

極限をとると、不等号に等号が加わる。これが極限の腑に落ちない部分である。納得できない。