級数とは

数列\(\{a_n\}\)にたいして、\(\{\sum_{k=1}^{n}a_k\}\)という数列が考えられる。数列\(\{\sum_{k=1}^{n}a_k\}\)の極限値を数列\(\{a_n\}\)の級数と(ここでは)呼ぶ。極限をとらずに、有限和で止めた和、\(\sum_{k=1}^{n}a_k\)はn項までの部分和と呼ぶ。

級数とは無限の項を足したという意味である。本来は無限の項の和というものが定義されないのであるが、その部分和による数列によって無限の項の和を定義するのである。

部分和が収束すればよいのだが、常に部分和が収束するとは限らない。

発散する級数

任意の数列数列\(\{a_n\}\)にたいして、級数が常に収束しているとは限らない。収束しない状態を発散というが、発散の仕方で2種類に分類できる。

ひとつは、無限に大きくまたは増え続ける、または無限い小さく減り続けることである。各項の絶対値をとった数列は、無限に大きく増え続ける数列となる。

もう一つは、絶対値有限値であっても、特定の数に近づかない場合でこれは特に振動とも呼ばれる。

ここでの定義では、数列\(\{(-1)^n n\}\)は振動と呼べないが、目標が特定でない様は振動に通じるものがある。

 

発散する級数にも実数を対応つける

発散する、すなわち収束しないのであるが、それに代わるもを考える。

発散のなかでも、振動する数列は、上限下限が存在するので、なんとか均してみる。

振動する数列で一番簡単な例は、\(\{(-1)^n\}\)であろう。部分和は、-1,0,-1,0,…と周期的である。周期的であるので、その1周期の-1,0の平均である-1/2を級数\(\{(-1)^n\}\)の値として採用するのが妥当といえる。つまり、級数の値は1周期に現れる部分和の平均とする。

総和法

無限項の和の定義によっては、部分和が収束しない数列に対しても和を定義付けできる。

総和法とは、無限項の和の定義ともいえる。上記のように、発散する数列に対しても、なんらかの和の定義を与えるのである。

振動する数列に対しては、なんらかの平均値をとればそれなにの意味のある和となりそうである。ところが、なんと、振動しない発散数列に対しても、いくつか総和法で値を対応つける方法が考えられている。

ゼータ関数

実は、総和法というのは当初しらなくて、下記の級数について調べいたらわかったことである。これらは、ζ(0),ζ(-1)に該当する級数である。

\[ “1+1+1+\cdots” =-\frac{1}{2} \]

\[ “1+2+3+\cdots” =-\frac{1}{12} \]

総和法によって、結果が変わることがあるので、級数の先頭(もしくは前後)にどの総和法を使ったのか区別できるように印(記号)をつけておくのが一般的な記法となっている。

発散する級数も、総和法によっては収束する値になる。

参考記事

この記事に触発されて調べた。

なぜゼータ関数の自然数の和は無限大に発散しないのか?