∞に発散する数列

∞に発散する数列がたくさんある。

そのような数列の比をとると、必ずしも1になるわけではない。つまり、∞にもいろいろあるということである。

\(a=\{3 n\}\)、\(b=\{ n^2\}\)の2つの数列はどちらも∞に発散する。

また、\(a,b\)から作られる新しい数列、\(c=\{b_n/3 n\}\)、という数列も∞に発散する。これが∞にもいろいろあるという説明の例である。

∞に発散する数列の集合

∞に発散する数列がどれくらいあるかというと、これまた無数にある。なぜなら、2つの∞に発散する数列からまた別の発散する数列が生成できて、これは無限に続けることができるから。

それならば、∞に発散する数列をあつめて集合Sを作る。この集合Sに順序を導入する。

∞に発散する数列の順序

\[ S=\left\{ x =\{ x_n\} \left| \lim_{n→∞}x_n =+∞  \right. \right\}  \]

\(a=\{a_n\} \in S \)、\(b=\{ b_n\} \in S\) とする。
\(a \le b   \underset{def} ⇔ 0 \le \lim_{n→∞} (b_n -a_n)  または → ∞ \)
で順序を定義する。

問題は、この順序でSに最小となる数列が存在するかだ。

∞に最小値は存在しない

\( m=\{m_n\} \in S \) を\(S\) の最小元だと仮定する。

すなわち、任意の\( x \in S \) に対して\( m \le x \) とする。

\( m/2=\{m_n/2\} \in S \) であるから、\(m\) の最小性より\( m \le m/2 \) である。

ところが、\(  \lim_{n→∞}{m_n/2-m} =-∞ \)であるので、\( m \le m/2 \) に反する。これは矛盾。

よって、\( m=\{m_n\} \in S \)は\(S\) の最小限ではない。

結論

最小の無限大は存在しない。