いたるところ不連続な関数として有名なディリクレの関数。

ディリクレの関数

$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
1 & (x\in \mathbb{Q}) \\
0 & (\mathrm{otherwise})
\end{array} \right.$$

いたるところ不連続。なんだ!?

ほとんど連続ではないのか?有理数の稠密性のおかげであろうか。
まあ、この関数が不連続なのは合理的に考えてそうだろう。

トマエの関数

$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
\frac{1}{q}& (x = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \, p,qは互いに素、q\gt0 )\\
0& (\mathrm{otherwise})
\end{array} \right.$$

x=0の時は0とするんだろうか。

無理数のところを連続に改造し、有理数だけで不連続。

いたる所不連続だが、有理数で連続な関数

証明はわかりませんが、存在しないそうです。もちろん、実数上の関数の話です。まあ、有理数で連続になるところがあれば、完備化の意味がなくなってしまいそうなので、妥当なところか。