問題

１は素数か？

回答

１は素数ではありません！

これで終了となりますが。

ちょっとまった

なぜ、１を素数としないのでしょうか。

その疑問にはまったく答えていませんね。

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言葉の定義次第だから、別に素数にしてもかまわない

素数の定義をどうするかの問題であって、１を素数と呼んでもなんら差し支えはありません。

実際、素数の定義を「１とそれ自身でしか約数を持たない数を素数とする」

このような定義であれば、１は素数です。１とそれ自身は１の約数です。

ただし、現在は、「素数とは正の約数が二つだけの自然数」このような定義にして、１を素数から除外する考えが通常です。

理由はいろいろ考えられますが、一番の理由は、命題を書く時にいちいち断り書きをかくのが面倒。ということに尽きるように思います。

たとえば、素因数分解の一意性という定理があります。

もし１を素数として定義しているのであれは、この定理を「全ての自然数は順番を除外するえば、１を除く素数の積としてただ一通りに表すことができる」といちいち「１を除く」と断り書きを書く必要性にかられます。そのほかの素数に関する定理にも、「ただし、１を除く」だとか、「１以外の」だとかの制約を命題に付記することが増えます。

利便性をとったら、１は素数にしないほうがよいだろう、こういうことから１は素数に入れない考えが浸透してきたと考えます。

単数

英語などででてくる、単数形、複数形の単数ではありません。

１の約数のことです。実は１の約数ですが、たしかに正の自然数と制限をつけると１だけです。しかし、正の自然数という条件をはずすと、複数あります。

簡単な例では、-1です。こういった数を単数と呼びます。単数を使えば、全ての整数を

（整数）=（単数）×（素数）×（素数）×・・・×（素数）

の形に順序を除くと一意に表すことができます。こういった標準形を考えると、１は素数と飛ばないほうが自然であると考えることもできます。

整数の概念をもっと広げると、-1以外の単数があります。

まとめ

１は素数と考えず、単数として考える。そのほうが便利。

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