奇素数とは
奇数の素数のことを奇素数と呼びますが、素数は２を除くと全て奇数です。
つまり、奇素数とは、２以外の素数のことをいうのです。
「２でない素数」これでも同じ意味ですが、すこしでも短い用語のほうが命題がすっきりするわけですね、そういうわけで奇素数という用語があります。
短い用語がすっきり、これはわかったけど、そこまでして文字を節約するほどのものなのでしょうか。
１は素数ではない、これに同意する人は多いです。
２は素数ではない、これは同意できないでしょう、だって、２は素数ですから。
しかし、２は素数の中でもちょっと変わった振る舞いをするのです。ですから、２が特別扱いされることが多いのです。２のどこが特別かって、そりゃ、３や５も特別ですよ、３は３で割れる唯一の素数ですし、５は５で割れる唯一の素数です。２が２で割れるのが特別といわれても、ピンときません。
でも、２はやはり特別なのです。偶数だからというより、数の構造が２を特別な存在にしているように思えます。
２のどこが特別か
それでは２を特徴することを書いてみます。
まず、２は対応を表します。表裏、右左、前後、陽と陰、男と女、世の中には２つの組み合わせになっていることが非常に多いのです。これが２を特別な存在にしています。なにかあるところにはいつも、２の存在があるのです。対応で結びついているものは、半分に割れやすいというわけです。
逆数の逆数は元の数、転置行列の転置行列は元の行列、双対定理、なにかと対になっている構造が多いです。それらの構造を調べていくと、２に関する性質がからんでいます。
２の特異性
最大の特徴は、１の次の数ということでしょう。最小の素数という位置づけもあります。
ある意味、最小の単位であるのです。これが２の特異な部分です。
その性質にからんでか、２の剰余は特別です。
mod2、２で割った余りを考えることがよくあります。{0}を体としなければ、
\(\{0,1\}=\mathbb{Z}/(2\mathbb{Z})=F_2\)は最小の体です。
この体は病的な性質があります。なぜなら、\(+1と-1\)が同じ意味なのです。足し算と引き算が同じに扱われます。そして、\(-1=1\)です。符号はあってないようなものです。
なにもかもが潰れてしまって、最後に残ったひとかけらが\(\{0,1\}\)でしす。こういった性質から、２は場合によって、忌み嫌われたり、好まれたりしています。２があってよかったー。
２だから成立する、２だから成立しない、こんな命題が結構あって、２以外の素数が登場する場面が多いのです。それで、「奇素数」が登場するシーンは多く、これからも増えていくとと考えます。
Feit–Thompsonの定理
「任意の奇数位数の有限群は可解群である。」
もう2の特殊性はこれにつきますね、2がないと可解群しかつくれない、つまり可解でない有限群は2を位数にもつのです。2がなければ群の構造ももっと簡単になってたことでしょう。
メルセンヌ素数
メルセンヌ素数とは、「2n − 1（n は自然数）の形の自然数」のことであるが、２が関係している。
「3n − 1」のような形の自然数については、あまり議論されない。
完全数
完全数とは、「その数自身を除く約数の和が、その数自身と等しい自然数のことである。」
2p− 1が素数なら、2p−1(2p − 1) は完全数の形になる。完全数を作り出すために、２が大活躍する。
参考問題
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