問題

2017年日本数学オリンピック予選(公財)数学オリンピック財団

問題2だけ簡単そうだったので、やってみた。問題を引用すると以下の通り。

2017年日本数学オリンピック予選(公財)数学オリンピック財団

問題2
正の整数の組\((a,b)\) であって、\(a \lt b, ab=29!\) を満たし、かつ\(aとb\) が互いに素であるようなものはいくつあるか。


私の考えた解き方

互いに素なので、a,bが共通の素因数を持ってはいけない。

29!の素因数は、2,3,5,7,11,13,17,19,23,29の10個。

この10個の素因数を二つにわける分け方を考える。

それぞれの素因数はaにはいるか、bにはいるか2択で、素因数が10個あるので、

二つの分け方は、\( 2^{10} \) 通り。

a<bの条件がついているので、半分にして、答えは、\(2^9=512\) 通り。

http://www.imojp.org/challenge/old/jmo27yq.html

ここの答えと同じなので、このやり方であっていると思います。

コメント

2017の日本数学オリンピック予選の問題ですが、組み合わせの問題が多く、これらは決まった解き方やパターンが確立されてないため、限られた時間で解くとなると、かなりの才能・ひらめき・技量が要求されます。

問題3については2017年予選問題3
問題7については2017年予選問題7