ピタゴラス数(一般解)を円の方程式から求める
で円の方程式と直線の方程式の交点からピタゴラス数を求めた。

多少の記述不足はあるが、有理数解も間違いなく全て求められている。

しかし、正しい答えが導かれているにもかかわらず、実は、このやりかたには論理的な問題がある。つまり、完璧ではない。説明が不十分なのである。

 

問題点

改めてピタゴラス数の集合でこれ相当な集合を書いてみる。

集合Aがピタゴラス数の全体の集合である。

集合Bがピタゴラス数(一般解)を円の方程式から求めるで計算して求めたピタゴラス数全体の集合である。

\(A=\left\{(a,b,c) \left|a^2+b^2=c^2 \;a,b,c \in \mathbb{N} \right. \right\}\)
\(B=\left\{(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)\left|m \gt n \gt 0 \; m,n \in \mathbb{N} \right. \right\}\)

\(A’=\left\{\left(\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right)\left|a^2+b^2=c^2 \;a,b,c \in \mathbb{N} \right. \right\}\)
\(B’=\left\{\left(\frac{m^2-n^2}{m^2+n^2},\frac{2mn}{m^2+n^2}\right)\left|m \gt n \gt 0 \; m,n \in \mathbb{N} \right. \right\}\)

示されたのは、\(A’=B’\)である。

しかし、\(A’=B’\)であるとしても、(\( A \subset B \)は簡単に示せるが、)\(A=B\)であるかどうかは自明でない。ここが問題点である。

有理数点と、ピタゴラス数の対応が示されていない。

問題点の説明

わかりにくいので別の簡単な集合の例で問題点を示そう。

下記の二つの集合AとBを考える。

A={(1,1),(1,2)}、B={(1,1),(1,2),(2,4)}
これらの集合に対して、次の集合A’、B’ を考える。
A’={p/q|(p,q) ∈ A }、B’={p/q|(p,q) ∈ B }
この場合A’=B’ であるが、A≠Bである。

上記のようなことがピタゴラス数の集合に対して発生している。

整数の問題はこういった落とし穴がよくあって、できたと思っても考察がもれていたりするので、検証が難しい。