48にはたくさんの約数があります。それらの約数をもれなく、すべて求め、求めた約数を全部足した数、全部掛けた数を計算する方法です。48を例に説明していますが、他の数であっても同じようにできます。ここで、単に約数と書いてあるのは正の約数の事を意味します。
ある数の、すべての約数を足してできる数をその約数の総和とします。
ある数の、すべての約数を掛けてできる数をその約数の総積とします。
48を例にし、約数の個数、約数の総和、約数の総積を求める方法を考えます。
解き方についてですが、「約数といえば、素因数分解」これにつきます。
約数の事を調べるにはまず素因数分解から始めます。
48の約数
さっそく、48を素因数分解します。
48=243 となります。
参考：素因数分解のやり方
４８の約数の一覧
素因数分解したら、約数を順番よく並べて書き表します。慣れてきたら、この操作は規則正しく並んでいることがわかるので、すべて書かなくても計算できるようになりますが、ここでは愚直にすべて書いてみます。
規則正しく順番通りに並べて書くと、もれなくすべて求めることができ、確認もしやすくなります。
1 , 21 , 22 , 23 , 24 ,
31 , 2131 , 2231 , 2331 , 2431
あえて規則がわかるように、１乗のところも指数を書いておきました。これで下準備は完了です。
計算すると48の約数は、1,2,4,8,16,3,6,12,24,48 となります。
小さな数なので、全ての約数を求めることができていますが、これを例にして、約数の個数や総和、総積について、その求め方を考えてみます。
48の約数の個数
48すべての約数が求められていますので、それを数えます。
これも、単純に数えるのではなく、「1,21,22,23,24」をひとかたまりにして数えます。約数は、かならず、このような塊の構造をしています。５個あります。実は、48の素因数分解した243 をみただけで、この塊が５個からなっていることがわかります。24の指数4に1を足した数になっているので。
次に、３がついてる約数ですが、３を除くと、上の塊とおなじになります。つまり、「31,2131,2231,2331,2431」の塊も５個です。
５個の塊が２個あるので、約数の個数は5×2で10個あることがわかります。これが個数の答えです。
塊をみて個数を数えるようにすると、大きな数であっても、素因数分解から個数は簡単に計算できます。
約数の個数は、「素因数分解した指数の掛け算になっている」ただ、１を足すのをお忘れなく。
48=2431の場合、2の指数は4,3の指数は1ですので、それぞれ1を足して掛けると,5×2の式ができます。
48の約数の総和（すべての約数を足す）
約数の個数のところで、約数の構造を説明しました。この構造から足した数についてもわかります。
説明のために、全部足した式を書きます。
(1+21+22+23+24)+(31+2131+2231+2331+2431)
かたまりをかっこでくくっておきました。
分配法則で塊の右側は３でくくれます。
(1+21+22 +23+24)+(1+21 +22 +23+24)31
さらに分配法則を使って今度は塊でまとめます。
(1+21 +22 +23+24)(1+31)
ここでは規則がわかるように指数の1も書いていますが、もちろん、指数の1は省略して書いてもよいです。
(1+21 +22 +23+24)や(1+31)は等比級数の形なので、この足し算は公式で求めることができます。
公式の説明はここでは省略しますが、その公式を使うと
\( 1+2+2^2+2^3+2^4=\frac{2^5-1}{2-1}=31 \)
\(1+3=\frac{3^2-1}{3-1}=4\)
となりますので、それらをかけて、総和は、31×4=124
答えは124です。
48の約数の総積（すべての約数を掛ける）
今度は、約数を全部かけてみます。
1 , 21 , 22 , 23 , 24 ,
31 , 2131 , 2231 , 2331 , 2431
をすべてかけ合わせればよいのですが、ここで、ちょっと工夫します。
先頭から順にかけるのでなく、１番めと最後、２番めと最後から２番めと組にして掛けます。
1 × 2431
21 × 2331
22 × 2231
23 × 2131
24 × 31
すると、この組の答えはいつももとの数48(=243)になります。
この場合、243を5個かけることになりますので、答えは(243)5=22035
全部掛けたこたえは、大きな数になり計算は時間がかかりますが、素因数分解で書くことは簡単な計算でできます。
ちなみに、22035=254803968です。
例題
類題として、72の約数の個数、総和、総積（素因数分解）を求めてみます。
答え
72=2332 なので
72の約数の個数＝4×3=12個
72の約数の総和=(1+2+4+8)(1+3+9)=(16-1)(27-1)/2=15×13=104
72の約数の総積=726=218312 (計算機で計算すると139314069504)
となります。
まとめ
- 約数の問題は素因数分解を使う
- 約数の個数は指数に１を足してかける
- 約数の総和は級数の公式で求めた数をかける
- 約数の総積は最初からと最後からの組をかけて計算する
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