素数は無限にあることは周知の事実であり、その証明も数多くある。

私が青二才の時のこの証明は証明とはいえないものだった。

その証明とは・・・

「数が無限にあるから素数も無限にある」(略証:数が無限にあるから、いくらでも素数の候補があって、時間はかかるかもしれないが探し続ければそのうち素数にぶちあたる。その操作が永遠に続けられるから)

なんとプアーな証明なことだろう。

冗談です。プアーじゃなく、これは証明になっていません。

しかし、いまさらとはいえ、新しい証明方法を考えることで、なにか新しいことがわかるかもしれません。素数が無限にあることの新証明に挑戦しようではありませんか。

きっかけは、2006年のサイダックさんの証明(Filip Saidak’s Proof)です。簡潔で初等的な新証明です。

それが簡潔であるがゆえに、一念発起して、私も素数無限の新証明に挑戦したくなったのです。

いろいろな証明

素数が無限に存在することはとっくに証明されています。

有名な、ユークリッドさんの原論(紀元前3世紀頃らしい)にかかれている証明ですが、その後からも次々に証明が発表されています。

ウィキペディア
素数が無数に存在することの証明

すばらしいページですね。私が追記することなどありません。

例のサイダックさんの証明(Filip Saidak’s Proof)も解説されています

下記は個人的に気に入ってる証明。背理法を使わないで証明しているところが素敵!

素数の無限性
http://www.ma.kagu.tus.ac.jp/~abe/sub2-2.html

自分で新証明を考える前に、過去の証明方法を研究して望みます。

 

自分でも新証明を考える

素数無限についていろいろな証明をみていると、ある共通点に気が付きます。

それは、「既存の素数をつかって、新たな素数をみつける、この操作が繰り返しできる。

このやり方が初等的な証明でかなり有効に使われています。

たとえば、ユークリッドさん(その改定版)も、既存(既知)の素数\(p_1,p_2,p_3,…,p_n\)から、それらを全て掛け合わせて1を足した(引いた)数から、新しい素数を見つけています。つまり、

\[a_n=\prod_{i=1}^{n}p_i+1\]という数列から新しい(既存でない)素数を見つけています。

サイダックさんの証明は、\(a_1=2,a_{n+1}=a_n(a_n+1)\)という数列を考えると、\(a_n\)は素因数分解すると少なくともn個の素因数をもっている(\(a_nと(a_n+1\))は互いに素だから)。nはいくらでも増やせるから素因数は無限にあるということです。数列\(a_1=2,a_{n+1}=a_n(a_n+1)\)から新しい素数をみつけています。新しくみつかった素数がどういったものか具体的にはわかりませんが。

つまり、なんらかの式(数列)を考えて、その式から次々と新しい素数の存在を示すことができれば、素数が無限にあることが証明できるというわけです。

既存の素数から、それ以外の素数をみつける式、それが見つかれば、素数無限の証明が完成します。

さて、自分でも考えるぞ・・・意気込んだのはいいですが、そう簡単い見つかるわけ無いですね。

ユークリッドさんのパクリとして、\(a_n=p_{n-1}!-1\) こんなの考えました。新しくもなんともないですね、Wikipediaに類似が乗っていますし。悪しからず。

いろいろひねり出してみたのですが、気の利いたものは発見できずギブアップ!

 

苦肉の策でひねり出したのが下記の数列です。

\(a_1=2\)
\(a_2=3\)
\(a_3=5\)
これらは初期値として、また既知の素数の集合の列として
\(P_1=\{2\}\)
\(P_2=\{2,3\}\)
\(P_3=\{2,3,5\}\)
を考えます。

さらに、4以上のnに対しては、既知の素数の集合\(P_{n-1}\)の要素を小さい順に並べて
\(p_1<p_2<p_3<…<p_{n-1}\)とします。
\[a_n=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}\frac{\prod_{j=1}^{n} {p_j}} {p_i}\]とし、
\(a_n\)の素因数のなかで\(P_{n-1}\)に含まれていない最小の素数が少なくとも1つは見つかるはずなのでそれをpとし、、
\[P_n=P_{n-1}\cup\{p\} \]として既知の素数の集合に追加します。

\( p_i \)を増加関数にしているのは、交代級数\(a_n\)の値が負にならないように調整するためです。

 

ユークリッドさんやサイダックさんの数列は、爆発的に大きくなっていくのですが、交代級数にすることで数列の増加を少し押さられたのではないかと思います。
※爆発してるの意味は感覚です。

いろいろいじってすっきり感がないですが、これを新証明として勘弁してください。

\(a_1=2,P_1=\{2\}\)
\(a_2=3,P_2=\{2,3\}\)
\(a_3=5,P_3=\{2,3,5\}\)
\(a_4=11,P_4=\{2,3,5,11\}\)
\(a_5=91=7*13,P_5=\{2,3,5,7,11\}\)
\(a_6=727,P_6=\{2,3,5,7,11,727\}\)
\(a_7=526219=79*6661,P_7=\{2,3,5,7,11,79,727\}\)
\(a_8=40256911,P_7=\{2,3,5,7,11,79,727,40256911\}\)

こんな感じで素数が見つかっていきます。

素数を生成する式(関数)があれば、素数が無限にあることの証明になります。

ところで、さらに厳しく条件を追加して、自然数nが与えられた時に、n番目の素数を表す式があるのでしょうか?

 

素数を生成する式(関数)

実は素数だけを生成する式はあります。それも、n番目の素数を表す式であります。

素数を表す式があることは、ウワサに聞いていましたが、しかし、実際に調べると、簡単にはみつかりませんでした。

下記は難しすぎてわかりませんが、なんだか将来性がありそうなのでリンク!
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/481_f1.htm

そして、調べ続けいているうちについに発見!

発見といっても他の人が発見した素数式を発見したということです。

素数に関して超詳しいサイト(日本語です)があったので、紹介、つかリンク。
素数が無限の超詳しいサイト
素数を式だけであらわす

なんか、このサイトは凄すぎて足元にも及びません。素数に関しては、ここにおまかせしましょう。

このサイトの説明によると、素数が無限にあることの証明は170通り以上あるそうです。数え方にもよるでしょうが、歴史があるだけあって証明も豊富ですね。