メルセンヌ素数と完全数の定義
自然数nに対して
\(M_n=2^n-1\)の形で表される素数をメルセンヌ素数と呼ぶ。
自然数nに対して
nのnより小さい約数の和がnであるとき、nを完全数よ呼ぶ。
完全数の例：6, 28, 496, 8128 など
問題
\(M_n\)がメルセンヌ素数であれば、\(N=2^{n-1}M_n\)は完全数である。
ユークリッド時代の問題です。
証明
\(M_n\)が素数なので、\(N\)の約数は全て求めることができます。
\(1,2,2^2,…,2^{n-1},
M_n,2M_n,2^2M_n,…,2^{n-1}M_n\)
等比数列の公式を使って\(N=2^{n-1}M_n\)を除いて和を求めると、
\((2^n-1)+(2^{n-1}-1)M_n\)
\(=M_n+(2^{n-1}-1)M_n\)
\(=(1+2^{n-1}-1)M_n\)
\(=2^{n-1}M_n\)
\(=N\)
偶数の完全数
\(N=2^{n-1}(2^n-1)\)の\(n\)に自然数を代入してみると
\(2^0(2^1-1)=1\)
\(2^1(2^2-1)=2*3=6\) 完全数
\(2^2(2^3-1)=4*7=28\) 完全数
\(2^3(2^4-1)=8*15=120\)
\(2^4(2^5-1)=16*31=496\) 完全数
\(2^5(2^6-1)=32*63=2016\)
\(2^6(2^7-1)=64*127=8128\) 完全数
奇数の完全数はあるのだろうか？
※参考文献「ふたたびの高校数学(永野裕之)」
[ad#foot]
