メルセンヌ素数と完全数の定義

自然数nに対して

\(M_n=2^n-1\)の形で表される素数をメルセンヌ素数と呼ぶ。

自然数nに対して

nのnより小さい約数の和がnであるとき、nを完全数よ呼ぶ。

完全数の例:6, 28, 496, 8128 など

 

問題

\(M_n\)がメルセンヌ素数であれば、\(N=2^{n-1}M_n\)は完全数である。

ユークリッド時代の問題です。

 

証明

\(M_n\)が素数なので、\(N\)の約数は全て求めることができます。

\(1,2,2^2,…,2^{n-1},
M_n,2M_n,2^2M_n,…,2^{n-1}M_n\)

等比数列の公式を使って\(N=2^{n-1}M_n\)を除いて和を求めると、

\((2^n-1)+(2^{n-1}-1)M_n\)
\(=M_n+(2^{n-1}-1)M_n\)
\(=(1+2^{n-1}-1)M_n\)
\(=2^{n-1}M_n\)
\(=N\)

偶数の完全数

\(N=2^{n-1}(2^n-1)\)の\(n\)に自然数を代入してみると

\(2^0(2^1-1)=1\)
\(2^1(2^2-1)=2*3=6\) 完全数
\(2^2(2^3-1)=4*7=28\) 完全数
\(2^3(2^4-1)=8*15=120\)
\(2^4(2^5-1)=16*31=496\) 完全数
\(2^5(2^6-1)=32*63=2016\)
\(2^6(2^7-1)=64*127=8128\) 完全数

 

奇数の完全数はあるのだろうか?

※参考文献「ふたたびの高校数学(永野裕之)」