メルセンヌ素数

メルセンヌ素数と完全数の定義

自然数nに対して

$M_n=2^n-1$の形で表される素数をメルセンヌ素数と呼ぶ。

自然数nに対して

nのnより小さい約数の和がnであるとき、nを完全数よ呼ぶ。

完全数の例：6,　28,　496,　8128　など

 

問題

$M_n$がメルセンヌ素数であれば、$N=2^{n-1}M_n$は完全数である。

ユークリッド時代の問題です。

 

証明

$M_n$が素数なので、$N$の約数は全て求めることができます。

$1,2,2^2,…,2^{n-1}, M_n,2M_n,2^2M_n,…,2^{n-1}M_n$

等比数列の公式を使って$N=2^{n-1}M_n$を除いて和を求めると、

$(2^n-1)+(2^{n-1}-1)M_n$
$=M_n+(2^{n-1}-1)M_n$
$=(1+2^{n-1}-1)M_n$
$=2^{n-1}M_n$
$=N$

偶数の完全数

$N=2^{n-1}(2^n-1)$の$n$に自然数を代入してみると

$2^0(2^1-1)=1$
$2^1(2^2-1)=2*3=6$　完全数
$2^2(2^3-1)=4*7=28$　完全数
$2^3(2^4-1)=8*15=120$
$2^4(2^5-1)=16*31=496$　完全数
$2^5(2^6-1)=32*63=2016$
$2^6(2^7-1)=64*127=8128$　完全数

 

奇数の完全数はあるのだろうか？

※参考文献「ふたたびの高校数学(永野裕之)」

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