数とは何かを考えるのは、実は数を作るためである。

新しい数を作るために、数が必要であることは述べた。

その数として自然数を使うのが基本であることを述べた。

ただ、あまり抽象的な話しばかりしても、生産的でないので、もっと具体的な話をしよう。

 

数の定義

数の定義は簡単である。道具や材料は十分に揃っている。

もちろん、これまでにない斬新な発想に基づく数が今後発見される可能性もあるが、これまでの先輩方が構築してこられた数の体系を真似することでもいろいろな数を作ることができる。

ただ、なにを満たしていれば数といえるのか、それを示さなければ、それが数とみなせるかどうかの判定すらできない。単に集合を定義しただけでは数と呼べないのと同じである。

数の性質二つあげるとするのなら、(1)比較、(2)演算である。この二つがあれば数と呼べる。

片側だけの性質だけでも数と呼べなくもない。たとえば、順序集合は比較が可能であるから数と呼べなくもない。

また、比較も大きく拡大解釈すれば演算ともいえる。

どちらも、集合と写像をつかって定義する。

比較

基本的な比較は、「等しい」か「等しくないか」である。

 

演算

演算は二つの数と一つの数の関係ともいえる。

演算記号として+を使うとし、二つの数をaとbとしたとき、a+bでaとbの演算を表す。これは数であって、別のなんらかの数cと等しくなることが要求され、このとき、a+b=cと記述されるのは、よく使われる記述方法である。

演算の結果は数であるので、演算結果を用いて、さらに演算を繰り返すことができる。

 

まとめ

数を作るために必要なこと

数をつかって集合を定義する。

その集合に、比較と演算の構造を定義する。

概念だけ書いたが、数を定義するために、比較と演算の2要素が必要であり、この要素があれば数として認定できる。逆に、これらの要素が掛けていれば、数としては半人前である。