問題

\(n^4+n^2+1\)が素数となるときの整数nの値をもとめよ。

 

素数かどうか、nにいろいろ代入していけばわかるのですが、・・・。

 

 

解答例

因数分解できることがミソです。

\(n^4+n^2+1\)
\(=(n^4+2n^2+1)-n^2\)
\(=(n^2+1)^2-n^2\)
\(=(n^2-n+1)(n^2+n+1)\)

この式の値が素数となるためには、片側の因子が1以外の約数をもってはならないから、

\(n^2±n+1=±1\)(複合任意)を満たすn以外にはない。

\(n^2±n+1\)が±1以外の整数になったら、1以外の約数があることになってしまう。

方程式\(n^2±n+1=±1\)をみたす整数nはn=-1,0,1の3個あるが、

これらのnのうち、\(n^4+n^2+1\)が素数かどうか確かめる。

n=0の場合は、\(n^4+n^2+1=1\)となり、1は素数でないから不適。

\(n=-1と1\)の場合は、\(n^4+n^2+1=3\)となり素数となるから、\(n=-1と1\)は解である。

答え

\(n^4+n^2+1\)が素数となるのは、nが-1または1の時であって、いずれのときも素数3となる。

 

類題

\(n^4+4\)が素数となるときの整数nの値を求めよ。

類題の答え

n=-1と1のときでいずれにしても素数5となる。

ヒント:\(n^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)\)を利用する。

 

練習問題

次の式が素数になるときの自然数\(n\)の値を求めよ。なお、かならずしも、解があるとは限らない。

  1.  \( n^4+4 \)
  2.  \( n^4+n^2+1 \)
  3.  \( n^4-2n^2+1 \)
  4.  \( n^4-3n^2+1 \)
  5.  \( n^4-6n^2+1 \)
  6.  \( n^4-7n^2+1 \)
  7.  \( n^4-11n^2+1 \)
  8.  \( n^4-14n^2+1 \)
  9.  \( n^4-18n^2+1 \)
  10.  \( n^4+3n^2+4 \)
  11.  \( n^4-5n^2+4 \)
  12.  \( n^4-8n^2+4 \)
  13.  \( n^4-12n^2+4 \)
  14.  \( n^4-13n^2+4 \)
  15.  \( n^4-20n^2+4 \)
  16.  \( n^4+2n^2+9 \)
  17.  \( n^4-3n^2+9 \)
  18.  \( n^4+5n^2+9 \)
  19.  \( n^4-7n^2+9 \)
  20.  \( n^4-10n^2+9 \)
  21.  \( n^4-15n^2+9 \)
  22.  \( n^4-19n^2+9 \)
  23.  \( n^4-n^2+16 \)
  24.  \( n^4+4n^2+16 \)
  25.  \( n^4+7n^2+16 \)
  26.  \( n^4-8n^2+16 \)
  27.  \( n^4-9n^2+16 \)
  28.  \( n^4-12n^2+16 \)
  29.  \( n^4-17n^2+16 \)

 

 

まとめ

多項式が因数分解できると、素数である条件が相当に絞り込まれる。

逆にいうと因数分解できる多項式は素数の値をとらない(一部の例外を除いて)。

因数分解できない多項式の場合には、一般に素数かどうかすぐにはわからない。mod2やmod3,mod4などで多項式を因数分解できれば、なんらかの手がかりを得る。

たとえば、類題\(n^4+4\)の場合、nが偶数なら、n^4+4が4で割り切れることはすぐにわかる。