√iなどの複素数の平方根については、「複素数の平方根を求める公式と使用例」を参照ください。
√２を求めよ
√２は無理数ですので、√2を実数(小数表示)で表すと、1.4142・・・と無限小数となります。
この、無理数√2の1.4142・・・はどうやって計算したら求められるでしょうか。
平方根を含んだ数式の計算方法
まず、一般に「平方根の式を計算せよ」という問題には２通りの意味があります。
（１）数式の変形
数式の意味(値)を変えずに変形すること、通常は簡単な式に変換することです。
問題例 「計算せよ \(\sqrt{8}-3\sqrt{2}\)」
答え「\(-\sqrt{2}\)」
（２）近似値計算
ルートを使わずそれに近い実数の値（近似値）を求めることです。
問題例 「\(\sqrt{2}\)の小数第２位までの近似値をもとめよ（小数第３位は四捨五入する事)。」
答え 「1.41」
数式の変形
これは、例えば、\(\sqrt{2}\)などとルートが出て来る部分を文字式と思って計算します。
つまり、\(\sqrt{8}-3\sqrt{2}\)を計算する場合は、まず、\(\sqrt{8}\)は\(2\sqrt{2}\)と同じなので、
\(\sqrt{8}-3\sqrt{2}\)
\(=2\sqrt{2}-3\sqrt{2}\)
\(=2a-3a\)
\(=-a\)
\(=-\sqrt{2}\)
という具合です。上では、\(\sqrt{2}\)を文字\(a\)とおいて計算し、最後に元に戻しました。
文字式の計算と、ルートの中の数字を外に出すことができるように練習すれば、 もっと複雑な式であっても計算できるようになります。
近似値計算
一方、文字式の計算と違い、こちらは数値計算となります。コンピュータでは近似値で計算することが得意ですので、数式をいれても、答えは小数表示の実数で表示されるようになっています（文字式として計算できる計算機もあります）。
さて、この近似値はどのようにして求めらたよいでしょうか。
やり方はいろいろありますが、原始的なやり方を紹介します。
これは、挟み撃ちという方法で、最も原始的でありまなが、ルート計算だけでなく、いろいろな数値計算にも応用できる基本中の基本のやり方です。
挟み撃ち
挟み撃ちというのは、求める値の上（大きい方）と下（小さい方）区間を狭めていって求める方法で、だんだん区間がせばめることで、求める値の誤差を小さくすることができます。
平方根の場合は、次のようにして、挟み撃ちすることができます。
挟み撃ちの方法もいろんな攻め方が考えられますが、区間を半分にしていく方法がよく使われます。
\(\sqrt{2}\)の例で説明します。
まず、平方根の場合は、
\(1<2<4\)からスタートします。
\(1^2<(\sqrt{2})^2<2^2\)からきています。
このように平方根の近似値を求める場合、２乗した数で2を挟み撃ちしていきます。
この式から、\(\sqrt{2}\)は1と2の間にあることがわかりました。
つぎに、1と2の間の数で考えます。この場合、2/3=1.5になります。
1.5を２乗すると、2.25で2より大きくなるので、
\(1^2<(\sqrt{2})^2<1.5^2\)となります。
こんどは、1と1.5の中間(1+1.5)/2=1.25で考えます。
1.25*1.25=1.5625ですので、
\(1.25^2<(\sqrt{2})^2<1.5^2\)です。
こんどは、1と1.5の中間(1.25+1.5)/2=1.375で考えます。
1.375*1.375=1.890625ですので、
\(1.375^2<(\sqrt{2})^2<1.5^2\)です。
２乗した数が２より大きいか小さいかで、半分にした右側の区間で挟み込むか、左側の区間で挟み込むかを選択します。
この操作を繰り返すと、次第に区間が狭められ求める数値に近づいていき、どんどん√2に迫っていくというわけです。
まとめ
平方根を含む計算では、平方根を文字だと思い文字式の容量で計算する。
近似値を計算する場合には挟み撃ちで攻める。
挟み撃ちには２分法（区間を半分に区切っていく）が効率的。
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