タクシー数に関する入試問題

問題

2以上の整数n,mは、\(n^3+1=m^3+10^3\)を満たす。m,nを求めよ。

(2009年の一橋大学前期の数学問題より)

 

解答例

整数に関する不定方程式です。

素因数分解し、有限個の分解によって場合分けし解を絞り込んで求めます。

なお、\(n^3+1=m^3+10^3\)を変形して、

\(n^3-m^3=1000-1\)から

\((n-m)(n^2+nm+m^2)=3^3 37\)を得ますのでこの式より、a=n-mと置くとaは\(3^337\)の約数となります。

\(3^337\)の約数は、1,3,9,27,37,3*37,9*37,27*37の8個しかありません。つまり、これらがaの取りうる値です。

計算テクニックで簡略化したりさらなる絞り込みしたりできますが、平凡に機械的に解いてみます。n=m+aとおいてnを消去すると(a=0はありえないことに注意して)、

\((n-m)(n^2+nm+m^2)=999\)
\(a(m^2+2am+a^2+m^2+am+m^2)=999\)
\(a(3m^2+3am+a^2)=999\)
\(3am^2+3a^2m+(a^3-999)=0\)

このmに関する2次方程式からmをaを使って表せます。aは999の約数(自然数)で限られていますから、これからmが2以上の整数になるものを求めればそれが答えです。

\(m=\frac{-3a^2 \pm \sqrt{ 9a^4-4*3a(a^3-999) }}{6a}\)
\(=\frac{-3a^2 \pm \sqrt{12*999a-3a^4 }}{6a}\)

ルートの中は平方数でなければなりませんが、そのまえに正の実数である必要があるのでaの範囲が絞り込まれます。この結果として、a=1,3,9が候補になります。

a=1のとき、n,mは整数になりません(無理数になります)。

a=3のとき、n=12,m=9

a=9のとき、n=10,m=1を得ます。

n,mは2以上なのでn=12,m=9だけが唯一の解となります。

答え n=12,m=9

\(12^3+1^3=9^3+10^3=1729\)となり、1729は2通りの3乗和になっています。

ちなみに、a=9の場合は、\(10^3+1^3=1^3+10^3=1729\)の式です。

コメント

\(a^3+b^3=c^3+d^3\)の整数解(自然数解)を求める問題として、a,b,c,dの上限があれば、地道に総当りして解いていけます。その時に、この方法で絞り込むとある程度総当りの件数を減らすことができます。