2次方程式の解の公式とは

2次方程式

ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)
をxについて解くと、

\[x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

となります。xについて解いたこの式を2次方程式の解の公式のいいます。

なお、以下ここでは、2次方程式といえば、ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)

のことを指すこととします。

通常、係数a,b,cは実数としますが、複素数であっても公式自体は意味があります(成立しています)。しかし、複素係数の2次方程式の場合、ルートの中が複素数になる場合があるため、複素数のルートを求める開平作業が発生します。

ここでは、複素数係数の2次方程式も扱います。

解の公式から解の形がわかることで、その方程式の解についていろいろなことがわかります。

複雑で暗号みたいな解の公式は、暗記することを勧めます。2次方程式の解の公式の覚え方についてはここ

 

解の公式から判別式がわかる

一般に、方程式の判別式とは、解が重解(重根)をもつかどうかを判別する式のことです。判別式が0の場合、その方程式は重解を持っています。2次方程式の場合、解の公式から判別式がわかります。それは、解の公式のルートの中に書かれている式と同じです。

つまり、2次方程式の判別式は、
b2-4ac  です。

判別式=0の場合は、係数a,b,cが複素数であっても重解を持ちます。

なお、重解を持つ場合(判別式が0の場合)、その重解をαとすると、その2次方程式は
ax2+bx+c=a(x-α)2
という形に因数分解されています。

 

2次方程式の実数解の個数がわかる

代数学の基本定理から、2次方程式は重解を含めて数えると2つあります。これは係数が複素数であっても成立しています。

1.係数が実数の場合

さてまず、2次方程式の係数が実数の場合の話です。実数係数の2次方程式の場合、その判別式の符号によって、実数解がいくつあるのか判別することができます。

(1)判別式が正の場合

二つの異なる実数解をもちます。

(2)判別式が0の場合

実数重解をもちます。すなわち、解は、1つの実数しかありませんが、それは二つの実数解が重なって一つになったものと考えます。

(3)判別式が負の場合

相異なる二つの(実数でない)複素数解を持ちます。なお、その二つの複素数解は共役複素数の関係にあります。

2.係数が複素数の場合

判別式が複素数になりますので、実数解が何個あるのか判別式からは判別できません。実際にルートを開平した形にしないと実数解が何個あるのかわかりません。

実数係数の場合とことなり、1つの実数解、1つの(実数でない)複素数解の場合もありえます。

ただ、判別式が0の場合は、重解(しなわち解は1つの値)となります。これは複素数係数の場合にも成立しています。

使用例

x2+2bx-3b-2=0
が重解を持つ時のbの値を求めてみます。

この方程式の判別式は4b2-4(-3b-2)
ですので、b2+3b+2=0
を解くと、(b+1)(b+2)=0より、b=-1,-2
となります。

したがって、
答え b=-1,-2
の時に x2+2bx-3b-2=0 は重解を持ちます。

 

 

解の公式で因数分解できる

解の公式をつかって2次方程式を下記のように因数分解できます。

\(ax^2+bx+c\\=a(x-\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x-\frac{-b – \sqrt{b^2-4ac}}{2a})\)

 

使用例

x2+x+1 を因数分解する。

たすき掛けでは因数分解できませんが、解の公式を使えば因数分解できます。

上記の式を解の公式にあてはめると、
\(x=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}\)
ですから、次のように因数分解できます。

\(x^2+x+1\\=(x-\frac{-1 + \sqrt{3}i}{2})(x-\frac{-1 – \sqrt{3}i}{2})\)

 

解の公式の導き方

解の公式を導く方法がわかると、解の構造がより親密にわかってきます。完全平方の作り方の練習にもなります。

公式を導くためには、いろいろな変形方法がありますが、以下に解の公式を導く式変形例を示します。最初の式から最後の式への変形ができれば、解の公式を覚えたも同然です。

ax2+bx+c=0
4a2x2+4abx+4ac=0
4(ax)2+4(ax)b+b2=b2-4ac
(2ax+b)2=b2-4ac
\(2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}\)
\(2ax=-b \pm \sqrt{b^2-4ac}\)
\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

解の公式が導かれました。

 

開平するときの注意点

普通は2次の係数aで割ってから完全平方の形に持っていきます。もちろんこの方法でも問題ありません。ただ、

\((x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)

で両者の平方根をとった式は、

\((x+\frac{b}{2a})=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\)

ですが、分母の4a2の開平は|2a|と絶対値がつきますので、

\((x+\frac{b}{2a})=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|2a|}\)

です。分母に絶対値|・|の記号がついていることに注目してください。

ただ、今の場合、分子にプラスマイナスの記号があるので、たまたま絶対値にしなくても、解を得ることができるようになっています。

文字式式の開平作業では、よく絶対値の記号を付け忘れてしまうので、注意しましょう!

公式は、aが実数とするとき、
\(\sqrt{a^2}=|a|\)
であって、\(\sqrt{a^2}=a\)
は間違いです。