無限集合の濃度と加算集合の濃度

無限集合同士を濃度という指標で比較することができるようになって、無限の扱いが飛躍的に発展した。

無限という存在を単純に数えきれないものという捉え方では、なにか物足りなさがあるのだ。

集合の濃度が発見されてからは、無限集合(要素の数をかぞえきることができない集合)であっても、その濃度に応じて大きさを比較することができるようになった。

濃度の中で最小のものを可算濃度と呼ぶ。可算濃度をもつ代表的な集合は、自然数全体の集合であり、可算濃度の集合を可算集合と呼ぶ。

つまり、自然数全体は可算集合である。

自然数の多さは、無限集合の中でも最小の位置にランクされている。これより小さな濃度をもつ集合があったとしても、その集合の要素を数えていくと、自然に自然数との対応関係が生まれ、自然数が自然に埋め込まれることになる。部分集合が全体集合より大きな濃度を持つことは許されないので、自然数より小さな濃度は存在できない。

最小の濃度といっても、数えきれないことには違いなく、有限の状態からみれば、とてつもなく巨大な存在である。

べき集合や、対角線論法などによって、自然数より上位の濃度をもつ集合が考えられているのは周知の事実だが、可算濃度の集合ですらその扱いには手をこまねく。

 

可能無限が把握できるのは可算濃度まで

可能無限の考え方では、自然数全体の数を測ることもできず、ましてや実数全体の数と自然数全体の数の比較など思考の範囲外とし、取り扱わない。

自然数全体の集合も、実数全体の集合も数えきれない集合としてひとくくりにされる。

普通に実数を扱った数学を学んだ者にとっては、この可能無限だけでの思考に驚くかもしれない。

しかし、無限が引き起こす奇妙な現象をできるだけ取り除こうとすると、人間は可能無限の考え方しか理解できない存在であることを思い知らされる。

そうはあっても、せめて数の世界では、なんとか無限というものの存在を仮定し、論理展開を矛盾なく構築したいと願うのが数学者の求めるところである。

思考の範囲を超えた世界を、いろんな例えから類推し推論し、無矛盾の数の世界を構築するのが、本サイトのメインテーマでもある。