集合の濃度を表す記号ℵ(アレフ)

集合(の要素)の個数は自然数で表すことができますが、その概念を発展させ無限集合に対して濃度でその大きさを表します。この濃度を表す時に使われる記号がℵです。

小さい順に、ℵ0、ℵ1、ℵ2、…と続いています。

0とℵ1の間の濃度があるのかどうかは難問でわかっていません(「ある」としてもよいし、「ない」としてもよいそうです。連続体仮設)。ℵのようなℵな大きさがどうなっているのかは、おいておいて、ここではある無限の濃度を表すℵを一つ固定します。

このℵですが、無限大を表す数のようにみえますが、数ではありません。

というのは、ℵに関しては、演算が定義されていないからです(等しいかどうかの演算はある)。

しかし、考え方によっては、

ℵ+ℵ=ℵ

のような足し算のようなものを考えることができます。

どうやって考えるのかといいますと、ℵの濃度を持つ集合を一つ選んでAとします。もう一つℵの濃度を持つ集合をℵとし、二つの集合の和集合の濃度をℵ+ℵで表すのです。その和集合の濃度がℵであれば、ℵ+ℵ=ℵの意味が成立します。

もっとも、ℵの濃度をもつ集合は無限にありますから、その選び方に依存しないで+演算(加法)が定義できているのか確認する必要があります。

減法は差集合をつかって定義できそうですが、濃度ℵとなる集合の選び方によって、

  • ℵ-ℵ=0
  • ℵ-ℵ=5(有限数)
  • ℵ-ℵ=ℵ

などいろいろ取り得て演算になりえません。

ℵは比較しかできないので数としてはうまく扱えません。

まとめ

ℵは比較はできても演算ができない。

濃度を表すℵには四則演算が定義できないので数の無限大として扱うことができない。