無限とは

限りないこと。

無限はいろいろな単語を修飾して使われる。

数学でよく使われるのは、

  • 大きさが限りないこと、「無限に大きい」(無限大)
  • 限りなく小さきこと、「無限に小さい」(無限小)
  • 限りなく近いこと、「無限に近い
  • 多すぎて数えられないこと、「無限に数えきれない」…強調修飾する「無限」
  • 漠然と見えているが決して到達できない地点、「無限の彼方」
  • 時間的に限りなく続くこと、「永遠」・・・ 実はあまり使われない

 

「無限に近い」を「同じ」とみなすか

ここが極限で問題(といったら大げさかもしれないが)になるところです。

極限の不思議な、理解し難いところは、無限に近いものを同じとみなすところです。

極限操作とは、無限に近いところになにかがあって、それを極限値として表します。

ここに無限のマジックが入り込みます。

本当は、「極限」と「極限値」を使い分ける必要があると思います。

これは、無限と無限大を使い分けるようにです。

極限値というと、なにか到着した地点の印象がありますが、そうではありません。

極限値とは、限りなく近づいていく地点のことで、例えば数列の極限値がαだとしたとき、その数列が無限の彼方でαに到達するわけではないのです。限りなくαに近づきはしますが、到着しません。

もっともこれがややこしいことに、到着する数列もあります。それは到着するというより、最初から到着している場合です。

例えば、数列{an=5(すべての項が定数5)}は、最初から5に到達しているので、その極限も5になります。このような例を先にだしておいて、数列{bn=(1/5)n}をだすと、これは周知のように極限値は0です。数列は決して0にはなりませんが、先程の数列と同様の考えでどこか無限の彼方でこの数列は0に到達しているような錯覚に陥ります。

もちろん、これは0に限りなく近づく数列というだけで、無限の彼方で0に等しくなっているわけではありません。

そもそも無限の彼方は到達しないから無限の彼方なのです。

「無限に近い」は「同じ」という意味にはならないのです。