極限で無限大を比較するとは、発散する数列の比較である

無限大の定義

無限大を、単に大きな数とだけ定義したのでは、大きさについて漠然と定義されただけの存在にすぎない。そもそもそれは数にならない。

そこで、無限大とは、正の無限大に発散する数列(実数列)とここでは定義する。

実数や数列は既存の概念であるから、それらの基盤を利用することができる。

改めて無限大の定義を述べると、正の無限大に発散する数列{an}が、

\[\lim_{n→∞}a_n = ∞\]

となるとき、数列{an}を無限大と呼ぶ。

 

無限大の演算

無限大は数列であるから、演算が定義できる。

{an}+{bn}={an+bn}によって、{an}と{bn}の加法が演算できる。その他の演算についても同様にできる。

ただ、残念ながら、ある項に0が含まれている数列に対しては除算がうまく定義できないので、加法、減法、乗法だけの演算を対象にする。

したがって、無限大/無限大については考察から外れることになる。

実は、これが数列を用いて無限大を表した時の難点だ。

これの穴埋めをしようすると、さらに問題がでてきて、次から次へとどツボの状態になるのである。

しかし、極限操作の実態はこの数列の行き先のことである。収束する数列だけ抜き出すとうまくいくが、発散する数列についてはそうではないのだ。

発散する数列、つまり無限大を取り扱うときにまず現れる問題が、数列の除算である。

 

無限大同士の比較

差で無限大を比較する。

単純な二つの数列{an=n}と{bn=n+(-1)n}を考える。

これらは発散する数列であるから、無限大を表す。

どちらの無限大(数列)が大きいと考えるべきであろうか?

数列を眺めると、nが偶数の場合、an<bnである。

nが奇数の場合、an>bnである。

nによって、大小が反転している。どちらが大きいとも決定することができない。

この例から、差で無限大を比較するのはそう単純にはいかないことがわかる。

それでは、比で比較しよう。とすると、数列の除算ができない問題にぶち当たる。

この例の場合は、項に0がでてこないので割り算して、その極限が1であること、二つの無限大は同じだとの評価が可能であるのだが。