いろいろな集合のデデキントカット

デデキントカットが一番使われるのは、有理数をデデキントカットして実数を作る時です。

整数をデデキントカットしても、整数しか生み出せませんでした。

整数は、稠密でないため(離散的なため)特殊すぎました。

ここで、有理数とは異なりますが、稠密な集合でデデキントカットしてみます。

私の考えた集合は、以下の集合です。これをデデキントカットします。

\[S=\{x \in \mathbb{Q} | x= a/2^n \; a,n \in \mathbb{Z} \}\]

つまり、分母には2だけの因子しかでてこない分数の集合です(n≧0として問題ありません)。

この集合は、例えば3の逆数はこの集合には含まれていないので、体にはなりません。

しかし環の構造を持っています。

 

Sをデデキントカットしてあたらしい数を作る

この集合は有理数の真の部分集合ですが、稠密であるので、実数を作ることができるはずです。

完備化すると体になってしまうのですね。