xの関数f(x)と実数aに対し、f(x)はx=aで値をもっていても、もたなくてもよいが、x=aの前後では値が決まっているとする。

関数の極限の4パターン

関数の極限としては、下記の4パターンある。

  • 極限値がある。
  • 正の無限大に発散する。
  • 負の無限大に発散する。
  • 上記のいずれでもない(極限は存在しない)。

 

極限値がある(収束する)

aの両側のどちらからでもxがaに近づくとき、それに応じて関数値f(x)がある実数bに近づく場合。

「x→aのとき、f(x)の極限値はbである」といい、

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x)=b\)

または、

\(\displaystyle x \rightarrow a のとき、 f(x) \rightarrow b\)

とかく。

 

ここで重要なのは、「どちらからでもaに近づく」つまり、aへの近づき方に関係なくf(x)がある実数bに近づくということである。

たとえば、7への近づき方としては、

  • 8, 7.5, 7.1, 7.01, 7.003344, 7.000000222, 7.00000000001,…
  • 6.5,  6.7, 6.8,  6.99, 6.9999, 6,999999, …
  • 8,6, 7.5, 6.5, 7.2, 6,8, 7.1, 6.9, 7.05, 6.95, …

のように、いろんな近づき方がある。このどの近づき方であっても、f(x)がある値に近づくとするのなら、f(x)はx=aで極限を持つというが、もし近づき方によってf(x)が近づく値がかわってくるのであれば、これは極限は存在しない例となる。

 

\[f(x)=\frac{\sin{x}}{x}\]

とすると、このf(x)はx=0での値をもなたいが、xを0にどのように近づけてもf(x)はいつも1に近づいていく。

したがって、

\[\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin{x}}{x}=1\]

である。

 

正の無限大に発散

aの両側のどちらからでもxがaに近づくとき、それに応じて関数値f(x)が限りなく増加する場合。

関数f(x)はx=aで正の無限大に発散するという。

単に、正の無限大のことを無限大と呼び、関数f(x)はx=aで無限大に発散するともいう。

 

\[f(x)=\frac{\cos{x}}{x^2}\]

とすると、このf(x)はx=0での値をもなたいが、xを0にどのように近づけてもf(x)は限りなく増加する。

 

これを

\[\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos{x}}{x^2}=\infty\]

と書く。

 

 

 

負の無限大に発散

aの両側のどちらからでもxがaに近づくとき、それに応じて関数値f(x)が限りなく減少する場合。

関数f(x)はx=aで負の無限大に発散するという。

 

\[f(x)=\log{|x|}\]

とすると、このf(x)はx=0での値をもなたいが、xを0にどのように近づけてもf(x)は限りなく減少する。

これを

\[\lim_{x\rightarrow 0} \log{|x|}=-\infty\]

と書く。

 

極限は存在しない

収束もせず、(正であっても負であっても)無限大にも発散しない場合、極限は存在しないという。

例1

\[f(x)=\frac{2}{x-1}\]

とすると、このf(x)はx=1での値を持たないが、1への近づき方によって、正の無限大に発散したり、負の無限大に発散する。

このような場合、f(x)はx=1で極限を持たないという。

例2

[x]でx越えない最大の整数を表す。[  ]はガウス記号と呼ばれるものである。

f(x)=[x]は、言い換えると小数点以下を切り捨てる関数である。例えば、f(1.5)=1のようになる。

グラフは階段状となる有名な関数であるが、この関数はxが整数の場合極限をもたない。

 

x=aで関数値を持つ場合

上記の例では、x=aで関数値f(x)が定義されていない場合であったが、x=aで関数値f(x)が定義されていてもかまわない。

この場合、

\[\lim_{x\rightarrow a} f(x)= f(a)\]

となる場合もあるが、そうでない場合

\[\lim_{x\rightarrow a} f(x) \ne f(a)\]

もある。

 

数列の極限をつかって定義する

関数の極限は、数列の極限をつかっても定義できる。こちらのほうが形式的により厳密といえるが、意図していることは上記の定義と変わりない。

aに収束する任意の数列{xn}を考える。このとき、関数f(x)を使うと新しい数列{f(xn)}を考えることができる。

数列{xn}の取り方に依存せずに、{f(xn)}がある値bに収束するのであれば、関数f(x)はx=aで極限(極限値はb)をもつという。

ただし、この場合、数列{xn=a}である数列は除いて考える必要がある。

あくまでも、x=aの前後でどのような値に近づいているのかが極限の値なのである。

 

関数の極限値の求め方

一般に、極限がどうなっているのか判定するのは難しい。

直感的には、関数のグラフを書いて考えるのがわかりやすいし、極限の意味をよく表している。