xが無限大になったときの関数の極限も考えることができる。

収束する場合もあるし、発散する場合もある。

x→∞、x→-∞での関数f(x)の極限パターン

x→∞でbに収束する場合

xを限りなく増加させたときに、f(x)の値がある実数bに限りなく近づく(一致も含む)とき、

「x→∞ のとき f(x)は収束しその極限値はbである」

という。式では、

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = b\)

と書く。

 

x→-∞でbに収束する場合

xを限りなく減少させたときも増加と同様に考え、f(x)の値がある実数bに限りなく近づく(一致も含む)とき、

「x→-∞ のとき f(x)は収束しその極限値はbである」

という。式では、

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = b\)

と書く。

 

x→∞で限りなく増加する場合(発散)

xを限りなく増加させたとき、f(x)の値が限りなく増加するとき、

「x→∞ のとき f(x)は∞に発散する」

という。式では、

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty\)

と書く。

同様に、限りなく減少する場合も考えることができる。組合せとしては

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = -\infty\)

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \infty\)

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty\)

がある。

いずれも(正または負の)無限大に発散するという。

 

x→∞で収束もせず、無限大に発散もしない場合

上記で示したように、関数によっては収束もしないし、無限大に発散もしない場合がある。

たとえば、\(f(x)=x \sin(x)\)

これは、x→∞のときに、一定の実数に近づくこともなく、限りなく増加し続けることもなく、減少し続けることもない。

つまり、収束もせず、無限大に発散もしない。

こうった場合、極限値は存在しないという。

※収束しないという意味で発散するということもある。

 

∞の扱いはもどかしい

∞を実数のようにみなすと、「∞に発散」という言い方を「∞に収束」という言い方にできる。

実際そう言いたいのは山々である。

しかし、∞は実数でないためにそういった言い方がゆるされず、もどかしい気持ちになる。

しかも、正の無限大と負の無限大をいちいち区別して言い換えるところももどかしい。

ここは、無限大の取扱が整備されていないため、いたしかないところであっるため、形式的ではあるが、場合分けして記した。

あまり形式にこだわると、かえって本質がみえずらくなるため、適宜省略した言い方をするが、無限大の核心に触れる場合には、無限大を実数のように扱ってよいのか慎重に見極めする事が必要となってくる。

そうでないと、理不尽な結論が導き出されかねない。

 

x→∞の時の極限の求める例題

例1 問題

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^3+7}{(x-1)(x^2+x+1)}\)

の極限を求めよ。

よくある例題である。

例1 解答

数列の場合の極限でやったのと同様に、(1/x)の式で表すように式の形を変形する。

この例題の場合は、分子と分母をx3で割ることで1/xの式に変形できる。

そして、x→∞の時、(1/x)→0を利用する。

与式
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^3+7}{x^3-1}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3+7/x^3}{1-1/x^3}\)
\(=3\)

 

答え 3

収束する例題であった。

 

 

例2 問題

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} (\sqrt{x}-x)\)

の極限を求めよ。

 

例2 解答

 

与式
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty} x(\frac{1}{\sqrt{x}}-1)\)
\(\displaystyle =-\infty\)

答え -∞に発散する