はさみちで求める数列の極限の問題「n^(1/n)の極限を求めよ」

[msg#wsiki]

\(n^{1/n}\)の極限を求める

問題

（１）\(\displaystyle 1+\frac{1 }{\sqrt{n}} \gt \sqrt[2n]{n}\)
n=1,2,3,…を証明せよ。

（２）\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{n}}\)
をもとめよ。

 

 

 

 

解き方

（１）をつかって（２）を求めるように誘導されていますが、あるひらめきがないと手がつけられない問題となっています。

極限がわかっている数列で挟み込んで極限を求めるのですが、挟み撃ちする数列がそう簡単に思いつかないのです。

 

\((1+x)^n \gt nx\)

ここでは、

ｘ＞０、ｎが正の整数なら
\((1+x)^n \gt nx\)
を利用します。

この不等式は２項定理で証明できますが、

参考として「ベルヌーイ不等式」を利用して証明してみました。

\((1+x)^n \ge 1+nx \)

この「ベルヌーイ不等式」は数学的帰納法で証明できます。

略証

(1+x)⁽ⁿ⁺¹⁾
=(1+x)ⁿ(1+x)
≧(1+nx)(1+x)
=1+nx+x+nx²
>1+(n+1)x

 

これを使えば、

\((1+x)^n \ge 1+nx \gt nx\)

指数の式を積の形に変形できるところがなんとも使える「ベルヌーイ不等式」です。

 

不等式\(n^{1/n}\ge 1\)

\(n^{1/n}\ge 1^{1/n}=1\)

という不等式も利用します。

略証

n≧１の両辺を1/n乗します。

 

解答

（１）の解答

(1)を証明します。

\(x=\frac{1}{\sqrt{n}}\)

と置くと、x>0ですから

\((1+x)^n>1+nx\)に代入すると、

\((1+\frac{1}{\sqrt{n}})^n\)
\(>n\frac{1}{\sqrt{n}}\)
\(=\sqrt{n}\)
n乗根をとると、

\(1+\frac{1}{\sqrt{n}}>=\sqrt[2n]{n}\)

証明終わり

 

（２）の解答

（２）を求める前に

（１）の不等式を２乗した不等式を得ます。

\((1+\frac{1}{\sqrt{n}})^2 \gt n^{1/n}\ge 1\)

両辺の極限をもとめると問題の数列は1に収束することがわかります。

答え １に収束する。

 

他の数列の極限に関する問題：数列の極限の問題一覧

 

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猫野の解析は

鉄則微分・積分
をテキストとして使っています。

鉄則ゼミ２の問題を解いています。