[msg#wsiki]

問題

aは正の数、
p,qはp>qの正の整数、

\(\displaystyle a_1=1\)
\(\displaystyle a_n^p a_{n-1}^q=a\) \((n≧2)\)

 

をみたす正数列を{an}とする。

このとき、

\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n\)を求めよ。

(名大)

 

こんな問題です。

 

 

 

 

解き方

ひらめきが必要です。

この問題では対数をとって漸化式を別の形にします。

\(p \log(a_n)+q \log(a_{n-1})=\log a\)

\(b_n=\log a_n\)
\(b=\log a\)

とおくと、

\(\displaystyle pb_n +q b_{n-1}=b\)

\(\displaystyle b_n=-\frac{q}{p}b_{n-1}+\frac{b}{p}\)

aが正、anが正というのが効いています。

よくある漸化式(隣接二項間漸化式)の数列{bn}なので一般項が求められます。

ここまでくれば、anの極限を求めるの見通しができあがります。

bnの一般項が求められるので、bnの極限から答えが得られます。

 

 

 解答

\(b_n=\log a_n\)
\(b=\log a\)

とおくと、

\(\displaystyle pb_n +q b_{n-1}=b\)

\(\displaystyle b_n=-\frac{q}{p}b_{n-1}+\frac{b}{p}\)

\(\displaystyle b_n-\frac{b}{p+q}=-\frac{q}{p}(b_{n-1}-\frac{b}{p+q})\)

|-q/p|<1であるからbnは\(\frac{b}{p+q}\)に収束する。

したがって、

\(a_n=\mathbb{e}^{b_n}\) は

\(\displaystyle \mathbb{e}^{b/(p+q)}\)
\(\displaystyle =a^{1/(p+q)}\)に収束する。

 

答え

\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n =a^{\frac{1}{p+q}}\)

 

 

他の数列の極限に関する問題:数列の極限の問題一覧

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補足

\(a_n\)が\(\alpha\)に収束すると仮定すると、

anpan-1q=a

の両辺の極限をとることができて、

\(\alpha ^p \alpha ^q=a\)

となりますから、

\(\displaystyle \alpha=a^{1/(p+q)}\)

を得ます。

しかし、このやり方は、\(\alpha\)に収束するという前提があるからできるのであって、問題から収束するかしないかを調べるためには、上記のbnの形を導くことが必要です。

 

 

猫野の解析は

鉄則微分・積分

をテキストとして使っています。

鉄則ゼミ3の問題を解いています。