広島大学ー数列の極限を求める問題と解き方

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問題

行列
\(\displaystyle A = \left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
1-a & 1-b
\end{array}
\right)
\)

のn個の積\(\displaystyle A^n\)は、
\(\displaystyle A^n=\left(
\begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
1-a_n & 1-b_n
\end{array}
\right)
\)

の形になる。

ただし、\(b \ne 0、a-b \ne -1\)とする。

（１）

\(\displaystyle a_n, b_nをa,b,n\)で表わせ。

（２）

\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}\)

を求めよ。

（広島大）

解き方

本当にAⁿが問題文の形になるのか検証が必要なところですが、それが成立することを信じてAⁿ⁺¹とAⁿの関係を調べます。

Aⁿ⁺¹=AAⁿより

\(\displaystyle \left(
\begin{array}{cc}
a_{n+1} & b_{n+1} \\
1-a_{n+1} & 1-(b_{n+1})
\end{array}
\right)
\)

\(\displaystyle = \left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
1-a & 1-b
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
1-a_n & 1-b_n
\end{array}
\right)
\)

\(\displaystyle =\left(
\begin{array}{cc}
aa_n+b-ba_n & ab_n+b-bb_n \\
1-(aa_n+b-ba_n) & 1-(ab_n+b-bb_n)
\end{array}
\right)
\)

成分を比較すると,

\(a_{n+1}=(a-b)a_n+b\)
\(b_{n+1}=(a-b)b_n+b\)

を得ます。

a_n,b_nの漸化式が得られますから、この関係式(隣接2項間)からそれぞれの一般項を求めることができます。

a-b=1の時は、公差bの等差数列です。

\(a_n=a+(n-1)b\)
\(b_n=b+(n-1)b\)

a-b≠1のときは、

\(\displaystyle \alpha = \frac{b}{1-a+b} \)とおくと、

\(\displaystyle a_{n+1}-\alpha=(a-b)(a_n-\alpha)\)

となって等比数列になりますから、

\(a_n-\alpha=(a-\alpha)(a-b)^{n-1}\)

同様にして、

\(b_n-\alpha=(b-\alpha)(a-b)^{n-1}\)

を得ます。

解答

（１）の解答例

Aⁿ⁺¹=AAⁿより成分を比較すると、

\(a_{n+1}=(a-b)a_n+b\)
\(b_{n+1}=(a-b)b_n+b\)

となる。

a-b=1の時は、公差bの等差数列で、

\(a_n=a+(n-1)b=1+nb\)
\(b_n=b+(n-1)b=nb\)

a-b≠1のときは、
\(\displaystyle \alpha = \frac{b}{1-a+b} \)とおくと、
\(\{a_n-\alpha\},\{b_n-\alpha\}\)は等比数列で、

\(a_n-\alpha=(a-\alpha)(a-b)^{n-1}\)
\(b_n-\alpha=(b-\alpha)(a-b)^{n-1}\)

となり、これを整理すると、

\(\displaystyle a_n= \frac{(1-a)(a-b)^n+b}{1-a+b}\)
\(\displaystyle b_n=\frac{-b(a-b)^n+b}{1-a+b}\)

となる。

（２）の解答例

＜場合１＞a-b=1のとき、

\(\displaystyle \frac{a_n}{b_n}\)

\(\displaystyle =\frac{1+nb}{nb}\)

\(\displaystyle =\frac{1/n+b}{b}\)

より、

\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=1\)

＜場合２＞a-b≠1のとき、

\(\displaystyle \frac{a_n}{b_n}\)

\(\displaystyle =\frac{(1-a)(a-b)^n+b}{-b(a-b)^n+b}\)

となる。

＜場合３＞|a-b|<1のとき、

\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{b}{b}=1\)

＜場合３＞|a-b|＞1のとき、

\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}\)

\(\displaystyle =\frac{(1-a)+b/(a-b)^n}{-b+b/(a-b)^n}\)

\(\displaystyle =\frac{1-a}{-b}\)

\(\displaystyle =\frac{a-1}{b}\)

以上をまとめて、

答え

-1＜a-b≦1のとき、1

|a-b|＞1のとき、\(\displaystyle \frac{a-1}{b}\)

この問題は行列で与えられていますが、漸化式をつくるときに行列の計算をしたものの、行列の性質は使わずに解けました。

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