[msg#wsiki]
問題
次の式が成り立つように、\(a,b\)を定めよ。
（１）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{ax^2+bx+1}(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})=1\)
（２）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x+x^2}-(1+ax)}{x^2}=b\)
解答（解き方）
まず、\(a,b\)を定数として、極限を求めます。つまり\(\lim\)記号を外して方程式をつくります。
（１）
左辺は、∞×0の形の不定形です。
\(x \rightarrow \infty\)の場合は、\(1/x \rightarrow 0\)の形にすると∞の記号を使わなくてすみます。
まず、左辺を計算します。
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{ax^2+bx+1}(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{ax^2+bx+1}(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}) \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{ax^2+bx+1}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{ax+b+\frac{1}{x}}}{\sqrt{1}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}\)
ここでa≠0の場合を考えると、この極限は∞に発散します。したがって有限の値に収束するためには
\(a=0\)であることが必要条件となります。
ここからは、\(a=0\)として極限を求めます。
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{ax+b+\frac{1}{x}}}{1+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{b+\frac{1}{x}}}{1+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{b}}{2}\)
となりますから極限が問題式の右辺である1に等しくなるためには、
\(b=4\)である必要があります。
実際、\(a=0,b=4\)のとき、
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{ax^2+bx+1}(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})=1\)
が成立しますのでこのa,bは求めている解です。
（２）
左辺は、0/0の形の不定形です。
左辺に
\(\displaystyle \frac{\sqrt{1+x+x^2}+(1+ax)}{\sqrt{1+x+x^2}+(1+ax)}\)
を掛けて不定形の形をくずします。
\(\displaystyle \frac{\sqrt{1+x+x^2}-(1+ax)}{x^2}\)
\(\displaystyle =\frac{1+x+x^2-(1+ax)^2}{x^2(\sqrt{1+x+x^2}+(1+ax))}\)
\(\displaystyle =\frac{(1-2a)x+(1-a^2)x^2}{x^2(\sqrt{1+x+x^2}+(1+ax))}\)
\(\displaystyle =\frac{(1-2a)/x+(1-a^2)}{\sqrt{1+x+x^2}+(1+ax)}\)
これが\(\displaystyle {x \rightarrow 0} \) で収束するためには、
\(\displaystyle a=1/2\)
である必要があります。そうでなければ発散します。
\(a=1/2\)を代入して極限を求めると、
\(\displaystyle \frac{3/4}{1+1}=\frac{3}{8}\)
と収束しますから、これが求める右辺のbになります。
逆に、\(a=1/2,b=3/8\)のとき、問題で与えられた式は成立します。
答え
（１）
\(\displaystyle a=0,b=4\)
（２）
\(\displaystyle a-\frac{1}{2}, b=\frac{3}{8}\)
その他の問題： 数列の極限の問題一覧 数列の極限に関する問題２
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