[msg#wsiki]
問題
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty, \lim_{x \rightarrow \infty} g(x)=\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{g(x)}{f(x)}=1\)
のとき、次の二つの式は正しいか。正しければその理由を正しくなければその反例をあげよ。
（１）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{10^{g(x)}}{10^{f(x)}}=1\)
（２）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\log_{10} {g(x)}}{\log_{10} {f(x)}}=1\)
解答（解き方）
\(f(x),g(x)\)がどのような関数なのか具体的にわからないため、とっつきにくい。
手がかりがない場合には、自分で簡単で具体的な関数を代入してみて試してみると手がかりがみえてくる。
いろいろな問題を解いておかないと、具体的な例を作るのが難しいが、一番簡単な例は多項式を使った例であるから、まずは多項式で試すと良い。
∞/∞の不定形の形で、１に収束する関数の例で簡単なものとして、
\(f(x)=x,g(x)=x+1\)
が考えられる。
この簡単な例でまずは考える。
これでだめなら、\(f(x),g(x)\)の次数を上げたり、係数を変えて試してみる。
つまり、まずは多項式で考える。
（１）
\(f(x)=x\)
\(g(x)=x+1\)
とすると、
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{g(x)}{f(x)}=1\)
である。
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{10^{g(x)}}{10^{f(x)}}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{10^{x+1}}{10^{x}}\)
\(\displaystyle =10\)
いきなり、上記で示した例で試すと反例となってしまった。
（２）
\(f(x)=x\)
\(g(x)=x+1\)
とすると、
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\log_{10} {g(x)}}{\log_{10} {f(x)}}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\log_{10} {(x+1)}}{\log_{10} {x}}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\log_{10} {(x(1+1/x))}}{\log_{10} {x}}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty} \left(1+\frac{\log_{10} {(1+1/x)}}{\log_{10} {x}} \right)\)
\(\displaystyle =1\)
この証明が一般に通用するか検討する。
答え
（１）
正しくない。
反例として、
\(f(x)=x\)
\(g(x)=x+1\)
があげられる。
（２）
正しい。
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\log_{10} {g(x)}}{\log_{10} {f(x)}}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\log_{10} {(f(x)(g(x)/f(x))}}{\log_{10} {f(x)}}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1+ \frac{\log_{10} {(g(x)/f(x))}}{\log_{10} {f(x)}} \right)\)
ここで、
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{g(x)}{f(x)}=1\)
であることを考えると、
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1+ \frac{\log_{10} {(g(x)/f(x))}}{\log_{10} {f(x)}} \right)=1\)
その他の問題： 関数の極限に関する問題 数列の極限の問題一覧 数列の極限に関する問題２
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