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問題

\(g(x)\)は連続関数（微分可能でとは限らない）で\(g(0)=1\)とする。

\(\displaystyle f(x)=\frac{x}{g(x)+2}\)
とするとき、\(f^{\prime}(0)\)を求めよ。

 

 

 

解答（解き方）

\(x=0\)の場合の微分係数ですから、

微分の定義にもとづいて計算します。

\(g(x)\)が微分可能であれば、\(f^{\prime}(x)\)が求められますから、それに\(x=0\)を代入できますが、この問題の場合、\(g(x)\)の連続性しか仮定されていませんので、この方法は使えません。

 

\(\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} \)
\(\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{h}{g(h)+2}-\frac{0}{g(0)+2}}{h} \)

\(\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{g(h)+2} \)

\(\displaystyle =\frac{1}{3} \)

 

答え

 

\(\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{3} \)

 

 

 

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その他の問題：　関数の極限に関する問題　数列の極限の問題一覧　数列の極限に関する問題２

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