極限を求めるツールとして最強のロピタルの定理ですが、うっかりすると誤用してしまう場合があります。

ロピタルの定理には、適用できるための前提条件がいろいろあります。

そのほとんどは、それほど神経質になる必要はありません。

ただ、一つだけうっかり間違えてしまう注意点があります。

 

それは、ズバリ!

不定形になっているかどうか?

です。

 

 

最大の注意点は不定形かどうか

不定形になっていない式にロピタルの定理を使うととんでもない答えになってしまいますよ。

それはなぜか?

簡単な例をあげます。

 

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2+2x+3}{4x^2+5x+6}\)

 

この極限値は不定形でない形で、

\(\displaystyle \frac{3}{6}=2\)

ですよね。

 

ところが、ロピタルの定理で、分母と分子をそれぞれ微分してしまうと、

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2x+2}{8x+5}\)

となって、

\(\displaystyle \frac{2}{5}\)

とさきほどの答えとは異なる答えになってしまいます。

 

この例題は簡単なので、間違った答えを導く可能性は低いですが、ちょっと複雑な式の場合、
不定形かどうか調べずに極限を求めると、痛い目にあいます。

 

さて、ちょっと違う下記の極限の問題の場合、

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+2x+3}{4x^2+5x+6}\)

この極限の場合は不定形ですから、ロピタルの定理の使用可能です。

 

 

最強のロピタルの定理を使う時の注意点

 

一番よく引用される例です。

このパターンは、極限値がない例です。

 

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}\)

 

もちろん、この式にロピタルの定理は適用できません。

 

 

逆に、不定形であれば、バンバン、ロピタルの定理が適用できます。

分母ゼロだとか、連続だとか細かい注意はもちろんありますが、通常つかわれている初等関数であれば、

そんな注意はほとんど該当することがありません。

便利ですから、うまく活用しましょう!