可算濃度と連続濃度

Sを可算濃度ℵ0の無限集合とし、その冪集合を2Sとすると、2Sは連続の濃度ℵ1の無限集合である。

これについては、調べれば豊富な説明があり、説明しだすとくどくなるのでここでは詳しく述べない。

ここで確認しておきたい要点は、「可算濃度の無限集合のべき集合は連続濃度の無限集合である」ということです。

可算濃度より真に小さい濃度の集合

より濃度の大きい無限集合は冪集合でつくることができますが、逆に、ある無限集合からそれより濃度の小さい無限集合をつくること、これがここで扱うテーマです。

可算濃度より濃度の小さい無限集合はどうなっているのでしょうか。

可算濃度より濃度の小さい無限集合は存在しないことになっています。ということは、冪集合をつくる操作の逆は不可能ということでしょうか。

 

有限集合の場合

まずは、有限集合で練習します。

Pを個数n個からなる有限集合とします。記号で書くとn=|P|となります。
m=[log2(n)+1]
とmを定める。[]はガウス記号、すなわち切り捨ての記号です。

n<2m ですから、m個の要素をもつ有限集合Sを作れば、|P|<|2S|となります。

よって、無限集合のPに対してm=[log2(|P|)+1] に相当する濃度をもつ集合Sをうまいこと作り出せれば、問題解決です。

無限集合の場合

切り捨てだとか、+1することは誤差の範囲で処理できるので、イメージとしては、log2(ℵ0)の濃度をもつ無限集合を作ることになるのですが、これが不思議なことにlog2(ℵ0)に相当する量を作り出すことが簡単には行かないのです。

有限集合の場合のように考えると、たとえば、{2n|nは自然数}といった集合を考えると、有限の範囲(N以下)では、|{2n≦N|nは自然数}|≦log2(N)であるのですが、みてわかるように{2n|nは自然数}は自然数全体と対応がつく集合ですので可算です。

有限はどう組合せても有限回の操作では有限にしかならず、無限を作り出すことができません。逆に、無限はどんなに小さくしようとしても無限のままです。有限と無限の挟まというか境界はありません。境界があればその境界は有限です。境界がないから無限なのです。

まとめ

可算集合より濃度の低い集合としてlog2(ℵ0)の濃度に相当する集合を考えたが、それは有限から無限をつくることに相当することとなり、作り出せませんでした。もしこれができたとなれば連続体仮設が肯定となる可能性が高いはずなので、連続体仮説をよく調べてから挑戦すべきでした。すみません。

挑戦した結果わかったこと

べき集合が自然数全体となるような集合があれば、それは可算濃度より真に小さい無限集合であるはず。無限集合であれば、可算濃度より真に小さな濃度をもつ集合はありえない。したがって当然の結果ではあるが、べき集合が自然数全体となるような集合は見つからなかった。そのような集合があったとしたら、それは集合とよべるのか甚だ疑問である。

なんらかの方法によって、log2(ℵ0)のような濃度がうまく定義できるとしたら、ℵ0かマイナス無限大に相当するはず。形式的ではあるが、ℵ0=log2(ℵ1)を採用するのであれば、log2(ℵ0)=ー∞の関係式のほうが感覚にマッチする。

もっとも、これは単なる妄想である。