複素数では正や負の概念がありませんが、符号という概念を拡張すると、複素数にも正や負と似た概念が適用できます。
まず実数の符号についての性質をつかい、それに似せて複素数の符号を定義します。
複素数の符号の一部として、正や負の概念を複素数に適用することができます。
この場合、例えば虚数単位\( i \)の符号はどうなってるのでしょうか？
実数の符号
ゼロは符号を考えない例外として、実数の符号は、プラスとマイナスの２種類がありました。
そして、実数から符号を取り除いた属性は、絶対値または長さと呼ばれていました。
実数ｘに対して、その長さは|x|とｘを縦線で囲んで表します。
例えば、-2や2の絶対値は、
|-2|=2
|2|=2
となります。
符号部分が取り除かれて正の実数となります。
そこで、実数xに対して、x/|x|という量を考えます。
すると、x>0の時には、x/|x|は1
x<0の時には、x/|x|は-1と固定の値をとります。
この関数は、プラスの符号を持った実数を1に、
マイナスの符号を持った実数を-1に対応付けます。
これを符号関数とよび、複素数に対してもこの考えを適用することで
複素数の符号が定義できるのです。
複素数の符号の定義
実数の符号を真似て複素数に符号を定義するには、複素数の絶対値（長さ）が定義できればよさそうです。
長さが定義できれば、長さで割った部分が符号といえるからです。
複素数の長さの定義はいろいろと考えられるのですが、
これが、複素数の長さはこれしかないという
最適な定義があります。
まずは、これで複素数の長さを定義し、それから複素数の符号を定義します。
z=x+yi（x,yは実数）
で表される複素数があったとします。
この複素数zの長さ|z|を、
\( \displaystyle |z|=\sqrt{x^2+y^2} \)
で定義します。
この定義が実にすばらしく、よく知られているように、
|z|≧0
|z_1||z_2|=|z_1 z_2|
といった性質があります。実数の絶対値のときと同じ性質を引き継いでいます。
よって、複素数zの符号返す関数を sgn(z) とすると
\( \displaystyle sgn(z)=\frac{z}{|z|} \)
で定義します。
これが、複素数の符号として、自然でふさわしいといえる定義です。
例題１ 3-4iの符号
|3-4i|=√(9+16)=5
したがって
符号を計算すると
sgn(3-4i)
=(3-4i)/5
=3/5-4/5 i
これが符号です。
見ての通り、複素数の符号は複素数として表されます。
実数の符号である＋と-を1と-1に対応させて表したように、符号は数値化して表すと便利です。
そして、この複素数の定義は、実数の符号の定義を拡張した定義となっています。
符号の絶対値は1
符号が数値化して表せているので、符号の絶対値を考えることができます。
それは定義からすぐにわかりますが、符号の絶対値は1になります。
逆にいうと、絶対値が1である数が符号とも言えます。
まとめ
- 複素数の絶対値の定義から複素数の符号の定義ができる。
- 実数の符号の拡張となるように複素数の符号を定義できる。
- 実数の符号は２つであったが、複素数の符号は無限個ある。
[ad#foot]
