解の公式を考えていると、３次方程式より４次のほうが簡単かもと思うことがあります。
結論をいうと、一般的に４次方程式のほうがはるかに３次方程式より複雑で解くのは難しいです。
しかし、ふと思うわけです。４＝２×２つまり、４次方程式は、２次と２次に分解できるのではないか。
２次方程式は３次より簡単です。
したがって、４次が２次と２次に分解できれば３次方程式より簡単だろうと。
４次方程式は３次方程式を含む
４次方程式を解くのが３次方程式を解くことより難しいわけ、その１。
３次方程式の解に１つ解を追加した４次方程式を作ることは簡単です。
例えば極端なはなし、３次方程式にxを掛ければ４次方程式ができます。
新しくできた４次方程式はもとの３次方程式と同じくらいの難しさのはずなので
４次方程式を解くことは３次方程式を解く事以上の難しさがあるわけです。
つまり、４次方程式は３次方程式を含んでいると考えることができるので、
４次を解くことは３次より簡単であるわけないのです（難しいのです）。
難しい理由は、これに尽きます。
結論はでているのです。
しかし、４次の解の公式であるフェラリの公式の解き方をみると、２次式をうまく活用しているように見えます。
数値としても、３より４の方が対称性があり、取り組みやすそうです。
簡単に解ける４次方程式もある
４次方程式を解くことが３次方程式を解くことより難しいと言いましたが、これは一般的な話です。
というのは、４次方程式にもタイプがあり分類することができて、
ある種類の４次方程式は３次方程式より単純な構造をもっており、簡単に解ける４次方程式もあるのです。
代表的な例では、２次方程式を２回組み合わせてできた４次方程式です。
２次と２次の組み合わせで解ける４次方程式
実際、\(Z=x^2\)と変数置換を行い、\(x\)の４次方程式を\(Z\)の２次方程式に帰着できる例があります。
例えば、
\(\displaystyle x^4+x^2+2=0\)
こんな形の４次方程式は２次方程式の組み合わせに帰着できて解くことができます。
この考え方を発展させ、
\(Z=ax^2+bx+c\)
ここで、\(a,b,c\)は適当なパラメータをつかって、変数置換し２次に帰着できれば、
その方程式も解くことができるといえます。
例えば
\(\displaystyle (x^2+2x+3)^2+5(x^2+2x+3)-6=0\)
は変数置換で
\(\displaystyle Z^2+5Z-6=0\)
の式に帰着できますから、
２次として解くことができます。
いわゆる、簡単なタイプ４次方程式といえます。
もちろん、このような４次方程式は山のようにありますが、
すべての４次方程式をこのタイプに帰着できるのかというと、
それはそう簡単ではないのです。
しかし、ここは突破口となります。
うまい具合に
パラメータ\(a,b,c\)を定め、
Zの２次方程式に帰着する方法を考え出せば、
それは４次方程式の解の公式となります。
