問題を考えた経緯

東大2017年の数学第4問 の問題は、数列\(a_n\)の一般項から隣接している3項の漸化式を求める問題でした。

 

似たような問題に対処するため、ちょっと一般化してすぐに答えがだせるように練習します。

 

問題

\(α+β=p,αβ=q\)とし、数列\(a_n=α^n+β^n\)について、\(a_n\)に関する漸化式をもとめよ。

 

解答例

\(p(α^n+β^n)\)
\(=(α+β)(α^n+β^n)\)
\(=α^{n+1}+αββ^{n-1}+αβα^{n-1}+β^{n+1}\)
\(=α^{n+1}+β^{n+1}+q(α^{n-1}+β^{n-1})\)
\(=a_{n+1}+qa_{n-1}\)

上記から、

\( p a_n=a_{n+1}+qa_{n-1}\)
を得る。

\(a_1=α+β=p\)
\(a_2=α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=p^2-2q\)

答え

添字を調節して、

\(a_1=p\)
\(a_2=p^2-2q\)
\( a_{n+2}-p a_{n+1}+qa_{n}=0\)
の一般項が、
\(a_n=α^n+β^n\)となる。

考察

\(x^2-px+q=0\)の二つの解をα、βとおくと、

漸化式
\(a_1=α+β=p\)
\(a_2=p^2-2q\)
\( a_{n+2}-p a_{n+1}+qa_{n}=0\)
の一般項が
\(a_n=α^n+β^n\)
で表されることがわかります。

ためしに、α=β=1の場合で考えると、p=2,q=1となりますから、

漸化式
\(a_1=2\)
\(a_2=2\)
\( a_{n+2}-2 a_{n+1}+a_{n}=0\)
の一般項は、
\(a_n=1^n+1^n=2\)
となります。

あっていますね!