解の公式を考えていると、3次方程式より4次のほうが簡単かもと思うことがあります。

結論をいうと、一般的に4次方程式のほうがはるかに3次方程式より複雑で解くのは難しいです。

 

しかし、ふと思うわけです。4=2×2つまり、4次方程式は、2次と2次に分解できるのではないか。

2次方程式は3次より簡単です。

したがって、4次が2次と2次に分解できれば3次方程式より簡単だろうと。

 

4次方程式は3次方程式を含む

4次方程式を解くのが3次方程式を解くことより難しいわけ、その1。

3次方程式の解に1つ解を追加した4次方程式を作ることは簡単です。

例えば極端なはなし、3次方程式にxを掛ければ4次方程式ができます。

新しくできた4次方程式はもとの3次方程式と同じくらいの難しさのはずなので

4次方程式を解くことは3次方程式を解く事以上の難しさがあるわけです。

 

つまり、4次方程式は3次方程式を含んでいると考えることができるので、

4次を解くことは3次より簡単であるわけないのです(難しいのです)。

難しい理由は、これに尽きます。

結論はでているのです。

しかし、4次の解の公式であるフェラリの公式の解き方をみると、2次式をうまく活用しているように見えます。

数値としても、3より4の方が対称性があり、取り組みやすそうです。

 

 

簡単に解ける4次方程式もある

4次方程式を解くことが3次方程式を解くことより難しいと言いましたが、これは一般的な話です。

というのは、4次方程式にもタイプがあり分類することができて、

ある種類の4次方程式は3次方程式より単純な構造をもっており、簡単に解ける4次方程式もあるのです。

 

代表的な例では、2次方程式を2回組み合わせてできた4次方程式です。

 

2次と2次の組み合わせで解ける4次方程式

実際、\(Z=x^2\)と変数置換を行い、\(x\)の4次方程式を\(Z\)の2次方程式に帰着できる例があります。

例えば、

\(\displaystyle x^4+x^2+2=0\)

こんな形の4次方程式は2次方程式の組み合わせに帰着できて解くことができます。

この考え方を発展させ、

\(Z=ax^2+bx+c\)

ここで、\(a,b,c\)は適当なパラメータをつかって、変数置換し2次に帰着できれば、

その方程式も解くことができるといえます。

例えば

\(\displaystyle (x^2+2x+3)^2+5(x^2+2x+3)-6=0\)

は変数置換で

\(\displaystyle Z^2+5Z-6=0\)

の式に帰着できますから、

2次として解くことができます。

いわゆる、簡単なタイプ4次方程式といえます。

もちろん、このような4次方程式は山のようにありますが、

すべての4次方程式をこのタイプに帰着できるのかというと、

それはそう簡単ではないのです。

しかし、ここは突破口となります。

うまい具合に

パラメータ\(a,b,c\)を定め、

Zの2次方程式に帰着する方法を考え出せば、

それは4次方程式の解の公式となります。