素数や、約数、倍数などの一通りの知識がついたところで、取り組む数論的な問題を掲示します。

フェルマーの定理から、数論に興味がでてきて、もっと数について詳しく研究したいと思ったはいいものの、なかなかとっかかりが見つからないと思います。

最初は、素数や約数について調べはじめ、剰余群（有限体）など素数で割った余りの集合の性質を調べるところまでは小学生程度の知識でもある程度の意味はわかります。

が、フェルマーの定理が主張しているないようは理解できても、その証明となると、ご存じのとおり数学者であってもそう簡単に解ける問題ではないのが、数論の特徴です。

数論的な問題は単純なものでありながら、未解決なものが多いですが、解決されている問題もたくさんあります。

解決されている問題を通して数の知識が深まります。

そんな問題のなかから、一度は通りべき数論の問題をいくつか紹介します。

平方数に関する問題が最適

ピタゴラスの定理

\(3^2+4^2=5^2\)はよく知られた等式です。

もっと一般的に\(a^2+b^2=c^2\)を満たす自然数の組(ピタゴラス数と言います)がたくさんあるのは、よく知られたところですが、この自然数の組をすべて求めること、この問題は有名です。

答えもシンプルです。

この問題を解くことで、数論に対するアプローチの基礎を固めることができます。

素数と2平方数の和

ピタゴラス数が求められるようになったら、それと似ている次の問題が最適でしょう。

\(p\)を4で割って1余る素数とすると、

\(p=a^2+b^2\)となる自然数\(a,b\)が存在する。

逆に、4で割って3余る素数qに対しては、\(q=a^2+b^2\)となる自然数\(a,b\)は存在しない。

簡単な基礎知識だけで証明もできますが、平方数にこのような関係式があったとは、いわれてもなかなか気が付かないものです。

たとえば、

\(5=1^2+2^2\)

\(13=2^2+3^2\)

\(29=2^2+5^2\)

といった感じです。

このような二つの平方数の和で表すことができる奇数の素数は、すべて4で割るとあまりが1になります。

なお、唯一の偶数である素数2に対しては、\(2=1^2+1^2\)ですから、素数2も平方数の和で表すことができます。

まとると、二つの平方数の和で表すことができる素数は、4で割ると、あまりは1または2である。

逆に、4で割るとあまりが1または2である素数は、二つの平方数の和で表すことができる。

こういう命題が成立しているのです。

4平方数の和（4平方定理）

2つの平方数の和で表すことができる素数は、4で割ると1あまるものだけですが、実はすべての自然数は、４つの平方数の和で表すことができます。

ここでの平方数には0も含めて考えたほうがよいです。

２を平方数の和で表そうとすると、\(2=1+1+0+0\)から考えて0 が必要となるこの条件ははずせませんが、この条件を付けると素晴らしい定理ができるのです。

整数論への挑戦

すべての数は、自然数から発生していると考えてよいでしょう。その自然数の足し算、掛け算の演算によっていろいろな数が生まれてきます。

これらの数の間に、上記のような関係があるとは、一見で見抜けないものです。

ここに書いた関係式以外にもいろんな関係式があるはずです。

その関係式を調べることで、数の構造がより奥深くわかってきます。

これらの３つの問題に挑戦すると、それを通していろいろな数論に関する研究テーマに触れていけると思います。