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問題

無限級数
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a^n} \sin \frac{n \pi }{2} \)

が収束するためのaの値と、そのときの和を求めよ。

 

 

解き方

三角関数が入った式で複雑そうにみえますが、実はよくみると、

\(\displaystyle \sin \frac{n \pi }{2} \)

は、n=1,2,3,4,5…と代入していくと、1,0,-1,0,1,…となり、1,0,-1,0が繰り返す数列であることがわかります。

偶数項がすべて0になっていますから、総和としては、奇数項だけの和を考えればよいことになります。

 

 

解答

nが偶数の場合、
\(\displaystyle  \frac{1}{a^n} \sin \frac{n \pi }{2} =0\)

であるから

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a^n} \sin \frac{n \pi }{2} \)

\(\displaystyle  = \frac{1}{a^1} – \frac{1}{a^3} +\frac{1}{a^5} – \frac{1}{a^7} +\cdots\)

\(\displaystyle  = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{a} \left(\frac{-1}{a^2}\right)^m\)

公比\(\displaystyle \frac{-1}{a^2}\)
等比数列の和に等しいので、

 

\(\displaystyle \left| \frac{-1}{a^2}\right|<1\)

の時に収束し、その和は、

\(\displaystyle  \frac{1}{a} \frac{1}{1-\frac{-1}{a^2}}\)

\(\displaystyle  =\frac{1}{a} \frac{a^2}{a^2+1}\)

\(\displaystyle   =\frac{a}{a^2+1}\)

 

 

答え

a<-1,1<aの時に収束し、そのときの和は、\(\displaystyle   \frac{a}{a^2+1}\)

 

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その他の問題：　数列の極限の問題一覧

 

 

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