問題

f(x)=x^4+2x^2-4x+8
とする。
(1)　(x^2+t)^2-f(x)=(px+q)^2
がxの恒等式となるような整数t,p,qの値を１組求めよ。

(2)　(1)で求めたt,p,q
の値を用いて方程式(x^2+t)^2=(px+q)^2
を解くことにより、方程式f(x)=0
の解をすべて求めよ。

コメント

簡単に因数分解できない４次方程式を解く問題です。
(1)がヒントになっていますが、
f(x)=(x^2+t)^2-(px+q)^2
と書いてないところが、ちょっとひねりのように見えます。ちょっと、見かけを難しくみせようとしたのでしょうか。

文字の色が薄いところは、心の声です。失敗した内容などを書いています。

ベタな解答

この問題はベタにやるしかないでしょう。
もしかしたら、奇抜な解き方があるかもしれませんが、そんな余裕はないので、
とっとと恒等式が成立する条件を作って、t,p,q
を求めます。
計算時間はなかなか短縮できないので、正確に一発で計算完了にするのが、結局は解答を作る早道です。

t,p,q　を求める

（１）さて、
f(x)=(x^2+t)^2-(px+q)^2
を展開し、係数を比較します。

f(x)=x^4+2x^2-4x+8
=x^4 +2tx^2 +t^2 -(p^2x^2+2pqx+q^2)
=x^4+(2t-p^2)x^2 -2pqx +t^2-q^2

x^3の項がないし、わりと簡単に展開できました。
連立します。

2t-p^2=2
-2pq=-4
t^2-q^2=8

この３つの連立方程式からt,p,q
を求めます。
複数の解の組がありえますが問題文より求めるのは１組でよいです

２次式になっているので、ちょっと工夫しないと解けません。
ここがこの問題の山場になります。

文字をtとp,q
に分けて考えるとうまくいきそうです。
ちょっと変数の付け方をサービスしてくれているようです。

p^2=2t-2
q^2=t^2-8
pq=2
となります。

まずは、p,qをtの式で表してみます。

この辺りは式の形をみて、うまく変数消去するのですが、
ここでは、式の対称性に注目しp^2,q^2
を先にもとめてみます。

p^2+q^2=t^2+2t-10
p^2q^2=4
なので、p^2,q^2　を解に持つ二次方程式は、
x^2-(t^2+2t-10)x+4=0

x=\frac{(t^2+2t-10)±\sqrt{(t^2+2t-10)^2-16}}{2}
\frac{(t^2+2t-10)±\sqrt{(t^2+2t-10)^2-16}}{2}=p^2=(2t-2)
からt　を求める。

これでもできそうですが、式が複雑になってしまいました。

ここはちょっと別の角度からもみてみましょう。

問題に、t,p,q
が整数と書いてあるので、これを利用できそうですが、ここではベタな方法で突き進みます。

p^2q^2
が二通りのt式で表せるので、

(2t-2)(t^2-8)\\=2t^3-2t^2-16t+16 = p^2 q^2 = 4

(t-1)(t^2-8)\\=t^3-t^2-8t+8=2
からtが求まります。
３次方程式ですが、変数は一つです。
やったー！

t^3-2t^2-8t+12=0
因数分解できるはずです。それも整数で。

あれ、ちょっとやりにくい。
tは整数で解になっているというヒントがあるので、

(t-2)(t^2-8)= 4
に戻って考えます。
4を1と4の素因数に分解して、(t-2)=1,(t^2-8)=4
になる数を考えると、
t=3が解だとわかるので因数定理で因数分解します。こういうのは端に書いて答案に書く必要はありません。

t=3が解だとわかるので、tの答えとしてt=3を採用。
いちおう、念のために他の解も求めておきましょう。
検算も兼ねて
t^3-t^2-8t+6\\=(t-3)(t^2+2t-2)
他のtも求まりますが、問題の条件からtは整数でなければならないのでt=3を答えとして採用です。

tが求まると、p,qも元の関係式から求まります。

p^2=2t-2=4からp=±2
q^2=t^2-8=1からq=±1

一組の解でよいので、
答え(t,p,q)=(3,2,1)

簡単な整数解になるように問題は仕込まれていました。

ありがたや。

f(x)=0の解を求める

(2)　さて、本題です。f(x)の解を求めます。

(1)の結果をつかってf(x)　を因数分解します。

f(x)=(x^2+3)^2-(2x+1)^2
をみると因数分解できることがわかります。

(x^2+3+2x+1)(x^2+3-2x-1)=0
を解くと、

x=-1±\sqrt{3} i, 1±i
が求まりました。

答え　x=-1±\sqrt{3} i, 1±i

コメント
（１）で誘導されなければ、f(x)の因数分解ははなはだ困難でありますが、できないことはないかもしれません。私には無理な因数分解ですが。

振り返って、よーく問題をみると、t,p,q
は整数であることが条件なので、(1)式から、例えば定数項の、
t^2-q^2=8
から、
即座にt=3,q=1
を見つけ、一気に解答が導ける人もいるかもしれません。
すばらしい能力です。私には絶対にできない事なのでうらやましいです。
スピードを競うのであれば、こういったテクニックが有効になってきます。
ここでは、地味な計算でなんとかしのぎました。

さて、この方法をちょと拡張すれば、一般の４次方程式も解けます。
この問題ではtが簡単な整数と置けたので、手計算で解を求めることができましたが、
一般の４次方程式では、tに関する方程式が３次方程式の解（ルートを含んだ複雑な形）をしているため、４次方程式の解の公式を書き表すのは複雑すぎて困難です。

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