代数 円の方程式から求めたピタゴラス数の問題点
ピタゴラス数(一般解)を円の方程式から求めるで円の方程式と直線の方程式の交点からピタゴラス数を求めた。多少の記述不足はあるが、有理数解も間違いなく全て求められている。しかし、正しい答えが導かれているにもかかわらず、実は、このやりかたには論理...
猫野 流星
代数 代数 ピタゴラス数(一般解)を円の方程式から求める
ピタゴラス数とは三平方の定理（ピタゴラスの定理）にでてくるあの式です。自然数の組の場合、ピタゴラス数と呼ばれます。三平方の定理(ピタゴラスの定理)とは、「直角三角形の3辺の長さをそれぞれa,b,c(斜辺)としたとき、\(a^2+b^2=c^...
不等式 数学問題2011年静岡大第2(奇素数の問題）
静岡大学 2011年 第2問問題（１）pを2と異なる素数とする。\(m^2=n^2+p^2\)を満たす自然数の組\(m,n\)がただ一つ存在することを証明せよ。（２）\(m^2=n^2+12^2\)を満たす自然数の組\(m,n\)を全てもと...
代数 奇素数
奇素数とは奇数の素数のことを奇素数と呼びますが、素数は２を除くと全て奇数です。つまり、奇素数とは、２以外の素数のことをいうのです。「２でない素数」これでも同じ意味ですが、すこしでも短い用語のほうが命題がすっきりするわけですね、そういうわけで...
代数 2014年JJMO予選6番（整数問題）
中学生の知識で解ける整数問題2014年日本ジュニア数学オリンピック予選第6問問題\(n+16,16n+1\)がともに平方数となる正の整数\(ｎ\)を全て求めよ。失敗解答\(n\)に適当に代入して規則を発見する。適当に代入しても、一つも解を得...
代数 京大2006理系前期４（整数問題）
素数かどうかの判定に関する問題です。問題２以上の自然数nに対し、\(nとn^2+2\)がともに素数になるのは、\(n=3\)の場合に限ることを示せ。２０１６年京大の問題と類似しています与えられた式の値が素数かどうかを判定するのは一般的に難し...
代数 灘中2017年第6問を力技で解く(整数問題)
問題３桁の整数ABCを\(\frac{3}{4}\)倍すると３桁の整数BCAになり、さらにBCAを\(\frac{3}{4}\)倍すると３桁の整数CABになります。このような３桁の整数ABCは全部で２つであり、 と です。コメントパズル...
代数 東大2010年文系第4問（微分積分恒等式）
問題ある2次関数 \(f(x) = x^2 + ax + b\) について、次のような式が成り立つとします。\[f(x+1) = c \int_0^1 (3x^2 + 4xt)f'(t)\,dt\]この式が、どんな \(x\) に対してもい...
代数 東大2016年文系第4問（整数問題）
東大の問題から問題の内容をかみくだくと、次の数列\(x_{10}\)の１の位の数を求めよという問題になります。\(x_1=1\)\(x_2=3^{x_1}=3\)\(x_3=3^{x_2}=3^3=27\)\(x_4=3^{x_3}=3^{...
代数 解と係数の関係(3次方程式)
解と係数の関係そのまんま、解と係数の関係。美しいです。これ以上の関係式はない。しかし、この関係式から解を求めようとしてもそうは問屋がおろしません。３次方程式\(x^3+ax^2+bx+c=0\)の3個の解を\(α、β、γ\)とします。３次方...