代数 階乗の数を素因数分解する
はじめに２０１７年数学オリンピック予選の問題で１０００！の素因数分解に関係する問題がでました。さすがはオリンピック、桁が違います。問題と回答は、こちら問題と解答。ここでは、階乗の数を素因数分解する問題を解きます。問題よくある問題は、「１００...
数論
代数 代数 2017年日本数学オリンピック予選問題7
問題２０１７年日本数学オリンピック予選（公財）数学オリンピック財団問題７、激ムズ。いったいどんな人がこの問題できるのだろう。まず、問題の意味を理解するだけで１０分はかかる。どんな問題なのかというと、1,2,...,1000の並べ替え\(a_...
数論 トムソンのランプにモノ申す
これは、解答がない問題であって、これをパラドックスというのか疑問ですが、無限級数がでてくるパラドックスなので、メモしておきます。トムソンのランプとはランプにスイッチがついていて、そのスイッチでランプ（の明かり）をつけたり、消したりできます。...
数学問題 数学問題[2016京大前期文系第3問]
入試問題は、無駄な回り道をしてでも、答えにたどり着くことが重要だ。エレガントに解くことにこだわらない。この問題は、模範的な解答はいたることろで公開されているが、途中で躓いてしまった解き方の例を示す。全然エレガントではないが、これでも正解にな...
数論 １とはなにか
１とはなにか１とは数えるときの最初の数である。数えることができれば、そこに１がある。１があるから数えることができる。数えることは繰り返すことができる。そこから２があることがわかる。２とは、連続して数えたときの最初の数である。数えることは何度...
数学問題 2017年日本数学オリンピック予選問題2
問題２０１７年日本数学オリンピック予選（公財）数学オリンピック財団問題２だけ簡単そうだったので、やってみた。問題を引用すると以下の通り。２０１７年日本数学オリンピック予選（公財）数学オリンピック財団問題２正の整数の組\((a,b)\) であ...
数論 有限の領域に無限に長い線を引くことができるか
パソコンのお絵かきソフトで線を引きながら考えました。適当に線を引いていると、交わってしまのですが、できるだけ長く引くように頑張ります。交わらないように線を引いていても、この線には太さがあるのでいつかは限界がきて線と線が触れてしまいます。真面...
数論 総和法
級数とは数列\(\{a_n\}\)にたいして、\(\{\sum_{k=1}^{n}a_k\}\)という数列が考えられる。数列\(\{\sum_{k=1}^{n}a_k\}\)の極限値を数列\(\{a_n\}\)の級数と（ここでは）呼ぶ。極限...
数学問題 整数問題\((3^m-1)\)の因数[2010京大]
問題(1) \(n\)を正の整数、\(a=2^n\) とする。\(3^a-1\) は\(2^{n+2}\) で割り切れるが\(2^{n+3}\) で割り切れないことを示せ。(2) \(m\) を正の偶数とする。\(3^m-1\) が\(2^...
数論 0の隣りの実数
実数直線における0の隣の点昨日、隣の点について書いたが、もっと具体的、0の隣に点はあるか。普通の答えは「ない」である。私は、これに違和感を感じる。なぜ違和感を感じるのだろうか。それは、０より大きな数が存在している。数が存在している以上隣りに...