代数 虚数単位i以外で実数を拡大したらわかる、虚数とは何か？
複素数を計算できる人でも、複素数をきちんと定義できるかどうかは怪しいものです。数を定義するというのは、簡単なようで意外に難しいのです。世の中、いろんなところで数を使っていますが、数自体を定義できる人はごく一部です。語学と同じです。文法を知ら...
代数 
猫野の微分積分 sinとcosの対称式は、t=sin(x)+cos(x)とおくとよい
問題\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} \left( 0 < x < \frac{\pi}{2}\right)\)の最小値を求めよ。解答（解き方）微分の計算がややこし...
猫野の微分積分 曲線の二つの接線が４５°で交わる条件を求める
問題曲線\(y=3 \log x\)の上の２点\(P,Q\)の\(x\)座標をそれぞれ\(a,b\)とし、\(a<b\)とする。\(P,Q\)におけるこの曲線の２つの接線のなす鋭角が45°で、\(a,b\)がともに整数であるとき、\(a,b...
猫野の微分積分 ある曲線に直行する接線の交点が意外な答えとなる問題
問題点Pから曲線\(y=\sin^2 x (0≦x≦\pi)\)に引いた２つの接線が直行するように点Pの座標を定めよ。解答（解き方）問題をぱっと読むと、求めるPは複数（無限）にあるように思えますが、Pは１つの点に限定されるのでしょうか？よく...
解析 対数関数logの真数条件を例で説明
\( \log\)の記号がついている場合には、暗に真数条件が指定されています。真数条件とは\( \log_a x\)と書かれていると、暗に\(x \gt 0\)が仮定されているということです。\( \log_a x\)の\(x\)の部分が真...
猫野の微分積分 三角関数で導関数が解けない関数の極大値を求める問題
問題関数\(f(x)=x+a \cos x (a>1)\)は、0<x<2πにおいて極小値0をとる。このとき、この範囲における極大値を求めよ。解答（解き方）関数のグラフがどのような形になるのかある程度把握しないと、とっつきにくい問題です。y=...
猫野の微分積分 微分を使い増減だけでなく凹凸と±∞での極限値もグラフに書く問題
問題次の関数の増減・極値と凹凸を調べ、グラフをかけ。（１）\(\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^2}{x^2+1}\)（２）\(\displaystyle f(x)=\frac{x}{\log x}\)解答（解き...
猫野の微分積分 ロピタルの定理で極限を求めたら簡単だった事がわかる例題
問題次の極限値を求めるのに、ロピタルの定理をあてはめて確かめてみよ。（１）\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^2} \)（２）\(\displaystyle \l...
猫野の微分積分 微分可能とは限らない合成関数の微分係数を求める問題
問題\(g(x)\)は連続関数（微分可能でとは限らない）で\(g(0)=1\)とする。\(\displaystyle f(x)=\frac{x}{g(x)+2}\)とするとき、\(f^{\prime}(0)\)を求めよ。解答（解き方）\(x...
猫野の微分積分 微分係数を使って関数の極限を求める問題
問題\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \log_e{\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}}\)（nは正の整数）を求めよ。解答（解き方）微分を...