新しい数を定義するために数が使われる。例えば、分数を定義するのに自然数が使われる。すなわち、数はメタ構造をもっている。数は数を定義するのに適している。
それでは、数を定義するときに使われる数を遡っていくとどこにたどり着くだろうか。数の元祖として最もふさわしいのは自然数であろう。実際、自然数からあらゆる数が定義されている。数の体系のルーツは自然数といえる。
それでは、その自然数を定義する数はないのであろうか？もっと原始的な数を定義し、そこから自然数を定義することは可能であると思う。実際、超現実数では、空集合の存在に関して「有り」か「無し」の状態から、自然数が定義されていく。自然数を定義するために使われる数があったとしても、それは自然数よりもより抽象的で、結局はその概念を理解するためにそこから派生した自然数と通常の自然数の対応関係を把握しなければ、空にういた概念のままで、掴みどころがないからである。。
したがって、自然数よりも原始的な数に関しては必要以上に追求しない。自然数がより現実的に馴染んでいるし、自然数に関して認識されている共通概念は、ほとんど個人差を感じないからである。
自然数から、整数、分数、実数、代数的数、複素数に代表される基本的な数を定義してきた。新しい数を定義する際に数が使われるのは自然なことである。これらの基本的な数の体系はよく整理されていて、新しい数を定義する際のアイデアを学ぶ例としても非常に参考になる。
ただ、この基本的な数であるが、唯一曖昧さがある点を上げるとするならば、無限の扱いであろう。無限を数とみなすかどうか、非常に曖昧である。というのは、無限というのは、数えられないものであり、測れないものであり、演算もあやふやで、比較もあやふやだからである。
無限に関しては、数と非常に似ている概念でありながら、数といえるのかいえないのか、実に曖昧な概念である。実際、無限に大きい数は数ではなく、単なる概念としての意味だけで使われていることが多い。
新しい数がこの無限の概念を数として扱えるようになるならば、この新しい数は、数の概念を大きく膨らませたことになる。それができるのか、できないのかを考察するのである。
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