点とは長さゼロの線のことか

ここで、長さとは、線(曲線)とは、点とはについて、定義がはっきり示されていないが点に長さがあるとすれば、ゼロでなければならない。

線は点が集まってできているのか

点が集まっても線にはならない。なるとは限らない。有限個の点を考えれば当然だろう。

無限に集まれば?線になるかもしれない。しかし、かならずしも線と呼んでよいかわからない無限の点集合もあるだろう。

ただ点が集まるだけでは線にならない。なにかが欠けている。そうだ、つながっていないのだ。つながる、これが線としての必要条件だろう。

つながっている、これをどうやって表現したらよいだろうか。話を簡単にするため、直線で考える。

点Aと点Bを繋いだ直線を考える。これが線だということは、つながっているということで、つながっているということは、点Aから出発して点Bに到達する点の列が途切れなくあるということだ。

こう考えると、点のすぐ隣横に点があると考えたくなるが、隣の点というのがなにかというと、それは掴み取ることができない。なぜなら、点Cが点Aの隣としたとしても、点Aのと点Cがの間に点があるので、点Cは(横とは言えても)隣とはいえないのである。

そして、長さがあれば線であるので、点には長さがない。つまり点の長さゼロである。ゼロをいくら集めてもゼロにしかならない。つまり、長さを作ることができない。

点と線との結論

線は点から構成されていると考えられるが、点を集めても線にはならない。なぜなら、点には長さがないから。

隣の点の結論

点のすぐ隣にある点は存在できない。なぜなら、ある点が隣であると考えた瞬間にそれは隣ではなくなるから。