末尾の数で素数の確からしさが変わるか

素数っぽい数

簡単にちょっと複雑な素数っぽい数を例としてあげたい。

５７は実は３で割り切れますが、九九にでてこない数ですので、なんとなく素数っぽくみえることがあります。同様に９１もそれとなく素数っぽい感じです。

逆に、9876543210など、１０桁のながったらしい数でも、０で終わっている数はすぐに、素数でないことがあわかります。123123のような繰り返しがある数も素数っぽくありません。実際に1001で割り切れてしまいます。

厳密に素数でなくてもよいけど、できるだけ素数っぽく見せたい。

素数判定で必ず使われる方法は、数字の末尾を調べる方法です。

末尾の数が偶数である素数は２だけです。同様に５で終わる数で素数になっているのは、５だけです。

１０進数で表示した場合ですが、２と５は１０の約数になっているので、このような判定ができるのです。

つまり、２と５を除けば、素数の最後の数は１，３，７，９の４種類しかないことがわかります。

逆に、１，３，７，９で終わっている数は素数の可能性があるわけですが、１や９は平方数だし、なんとなく出現が高そうな気がしなくもありません。なんとなく、７が割り切れなさそうな感じがします。

なので、適当に考えた数の最後を７にしておけばとりあえず、なんちゃって素数に見えそうです。５７が素数っぽく見えるのはそういった理由ではないでしょうか。

それでは、実際に末尾が７で終わっている素数は確率的に多いのでしょうか？

100万以下の素数で末尾(１の位)の数がどうなっているのか調べてみました。

100万以下の素数で2と5を除いた素数は、78496個あります。

それらの素数の末尾(1の位)がどうなっているのかしらべると、

1で終わっている：19617個
3で終わっている：19665個
7で終わっている：19621個
9で終わっている：19593個

でした。なんと、わりと均等に素数は分布しています。

6桁の数で素数っぽくするためには、最後の桁は、７が多くでてるわけではありません。１でも３でも９でもよいわけです。

下１桁だけでは、１，３，７，９のどれで終わっていても同じくらいの率で素数が分布していました。ちょっと４種類だけでは少なくぎたのかもしれません。下２桁の数で調べてみます。

たとえば、末尾が５７で終わっている数は素数になりうやすいかどうか。

なんと、これまた均等に分布していました。

出現の多かった順に列挙すると

一番多かったのは、最後の桁が71で終わっている素数で1986個、僅差で末尾が87で終わっている素数が1984個でした。逆に少なかったのは、最後の桁が29の1926個で、最大の出現率との差は60です。数％のブレの範囲で均一に素数の末尾は変化していました。

末尾を多少いじっても素数になる確からしさを高めることはできない。

末尾が0,2,4,5,6,8で終わっている素数は2,5だけ。
1,3,7,9のどれをつかっても素数っぽさは変わらない。

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