素数っぽい数

簡単にちょっと複雑な素数っぽい数を例としてあげたい。

57は実は3で割り切れますが、九九にでてこない数ですので、なんとなく素数っぽくみえることがあります。同様に91もそれとなく素数っぽい感じです。

逆に、9876543210など、10桁のながったらしい数でも、0で終わっている数はすぐに、素数でないことがあわかります。123123のような繰り返しがある数も素数っぽくありません。実際に1001で割り切れてしまいます。

素数の末尾

厳密に素数でなくてもよいけど、できるだけ素数っぽく見せたい。

素数判定で必ず使われる方法は、数字の末尾を調べる方法です。

末尾の数が偶数である素数は2だけです。同様に5で終わる数で素数になっているのは、5だけです。

10進数で表示した場合ですが、2と5は10の約数になっているので、このような判定ができるのです。

つまり、2と5を除けば、素数の最後の数は1,3,7,9の4種類しかないことがわかります。

逆に、1,3,7,9で終わっている数は素数の可能性があるわけですが、1や9は平方数だし、なんとなく出現が高そうな気がしなくもありません。なんとなく、7が割り切れなさそうな感じがします。

なので、適当に考えた数の最後を7にしておけばとりあえず、なんちゃって素数に見えそうです。57が素数っぽく見えるのはそういった理由ではないでしょうか。

末尾が7で終わる素数は多いのか?

それでは、実際に末尾が7で終わっている素数は確率的に多いのでしょうか?

100万以下の素数で末尾(1の位)の数がどうなっているのか調べてみました。

100万以下の素数で2と5を除いた素数は、78496個あります。

それらの素数の末尾(1の位)がどうなっているのかしらべると、

1で終わっている:19617個
3で終わっている:19665個
7で終わっている:19621個
9で終わっている:19593個

でした。なんと、わりと均等に素数は分布しています。

6桁の数で素数っぽくするためには、最後の桁は、7が多くでてるわけではありません。1でも3でも9でもよいわけです。

下2桁の数で調べる

下1桁だけでは、1,3,7,9のどれで終わっていても同じくらいの率で素数が分布していました。ちょっと4種類だけでは少なくぎたのかもしれません。下2桁の数で調べてみます。

たとえば、末尾が57で終わっている数は素数になりうやすいかどうか。

なんと、これまた均等に分布していました。

出現の多かった順に列挙すると

素数の末尾の数 出現個数
71 1986
87 1984
91 1981
53 1977
23 1976
27 1976
19 1973
37 1973
17 1970
39 1970
51 1970
03 1969
83 1969
33 1967
59 1967
99 1967
97 1966
13 1965
93 1965
01 1964
31 1964
63 1962
57 1961
49 1960
61 1960
77 1960
79 1960
43 1959
11 1958
89 1958
09 1957
47 1956
73 1956
41 1955
69 1955
67 1943
81 1942
21 1937
07 1932
29 1926

一番多かったのは、最後の桁が71で終わっている素数で1986個、僅差で末尾が87で終わっている素数が1984個でした。逆に少なかったのは、最後の桁が29の1926個で、最大の出現率との差は60です。数%のブレの範囲で均一に素数の末尾は変化していました。

 

結論

末尾を多少いじっても素数になる確からしさを高めることはできない。

末尾が0,2,4,5,6,8で終わっている素数は2,5だけ。
1,3,7,9のどれをつかっても素数っぽさは変わらない。