0.999…

よく、無限小数の例として0.999…が使われます。

これは、0.999…=1となる等式の説明ででてくる実数の例なわけです。

0.999…=1の式の意味を考えるときに、「実数とは」の話になって、0.999…を使って実数の説明が始まる。

よくよく考えてみると、これは有理数1におけるデデキントカットに相当します。

1でのデデキントカットを考えると、

1は有理数であるので、(-∞,1)と[1,∞)といった有理数での切断が考えられます。

実数の定義をデデキントカットにおまかせすると、この切断はある実数を表していることとになります。

いうまでもなく、このデデキントカットが表す実数は有理数1です。有理数で切断しているからあたりまえです。

無限小数で表す実数の例として、0.999…を使うのであれば、これはあまり良い例とはいえませんね。

0.999…は、デデキントカットで新たに算出された実数ではないわけですから。

0.999…は無理数でもないので、有理数です。有理数は実数の中でも特別な扱いを受けます。

実数の例としては、やはり無理数を使うほうがより一般的でベターなところでしょう。

一般の実数の例をしてから、0.999…=1の意味を考えるべきで、0.999…から実数の本質を考え0.999…=1の結論に到達する方法は、実のところ、実数とはなにかの問題を避けて検証しているのと同じといえます。

 

まとめ

実数の例として0.999…を使うのはあまり良い例とはいえない。なぜなら、0.999…は有理数であるから。

実数の例を無限小数で挙げるのなら、1.414…=√2だとか、円周率3.1415…=πを使ったほうが、実数らしさがよく現れてベター。